綫性與非綫性泛函分析與應用_1.實分析與函數論

第1章 實分析與函數論：快速回顧

1.集合

定義與符號：

最常用的集合論是策梅洛 - 弗蘭克爾集合論，

從六條公理出發，集合中的元素、集合的包含關係（或）、真子集（或）等概念依據公理定義，集合的並集、交集、補集等運算也有明確定義。

等價關係與商集：(抽象代數...)

集合上的關係是的子集，

若滿足自反性、對稱性和傳遞性，則稱為等價關係，

元素關於等價關係的等價類，

商集是由中元素的等價類組成的子集。

2.映射

定義與表示：

設和是兩個非空集合，映射是的子集，使得對於每個，存在唯一的元素使得，記為或，當使用時，稱為指標。映射可以表示為或，也可以用的形式定義。

相關性質

像與逆像：

對於子集，;存在使得是的子集，稱為在下的像；對於子集，是的子集，稱為在下的逆像。

映射的性質：

映射是滿射（或映上），如果對於每個，存在至少一個元素使得；是單射（或一一對應），如果對於每個，存在最多一個元素使得；是雙射，如果它既是滿射又是單射。

3.選擇公理和佐恩引理

選擇公理：

設是集合的一族子集，若且對於所有，則，即存在選擇函數使得對於所有。

佐恩引理

定義：

設 是一個非空偏序集（偏序關係記為），若每個全序子集（即對於任意，有 或 ）都有上界（即存在，使得），則 至少有一個最大元素（即存在 ，使得，若 ，則 ）。

應用：

用於證明許多數學對象的存在性，如非勒貝格可測子集的存在性、向量空間的哈默爾基的存在性、向量空間的賦范性、內積空間的極大正交系的存在性以及哈恩 - 巴拿赫定理等。

4.實數和複數的構造

構造步驟

整數：

從自然數集（由無限公理保證其存在）出發，通過商集構造整數集，其中關係R定義為當且僅當。

有理數：

從整數集出發，通過關係當且僅當在集合上構造有理數集。

實數：

從有理數集出發，通過關係當且僅當對於任意，存在正整數使得對於所有在所有有理數的柯西序列集合上構造實數集。

複數：

複數集由實數集構造而成，對於，和分別表示的實部和虛部，即，的模。

基本性質

完備性：

實數集和複數集都是完備的，即任何柯西序列（或）都收斂，也就是 ，使得 時，存在（或