Integer S（数论gcd的运用）

最新推荐文章于 2022-08-21 18:39:33 发布

Gorgous—l

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本文探讨了一种结合快速幂运算和最大公约数(GCD)的算法，用于解决特定的数学问题。具体地，给出了如何计算S=gcd(a^m-1,a^n-1)%k的解决方案，通过引入一个关键等式变化，将问题简化为求解a^gcd(m,n)-1。文中提供了一个C++实现示例，包括快速幂和GCD的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

To think of a beautiful problem description is so hard for me that let’s just drop them off. 😃

Given four integers a,m,n,k,and S = gcd(a^m-1,an-1)%k,calculate the S.

InputThe first line contain a t,then t cases followed.

Each case contain four integers a,m,n,k(1<=a,m,n,k<=10000).OutputOne line with a integer S.

Sample Input
1
1 1 1 1
Sample Output
0
题意：有a，m，n，k，求有给出等式得到的s；
解题思想： S = gcd(a ^ m-1 , a ^ n-1)%k 这个等式的运用，可以看出是快速幂和gcd的使用，这得借助一个等式变化：gcd (a ^ m - b ^ m , a ^ n - b ^ n) = a ^ gcd(m,n)-b^gcd(m,n);有这个等式解决，可以看出b=1时就是此等式的标准形式，所有最终只需要求解 S = gcd ( a ^ m-1 , a ^n-1)%k=a ^gcd(m,n)-1，就可以了。

#include <iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;
int mod;
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
long long pow(ll x,ll y)
{
    ll cnt=1;
    x=x%mod;
    while(y)
        {
            if(y&1) cnt=(cnt*x)%mod;
            y/=2;
            x=(x*x)%mod;
        }
    return cnt;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
        {
            ll a,m,n,k,ans;
            cin>>a>>m>>n>>k;
            mod=k;
            ll y=gcd(m,n);
            ans=(mod+pow(a,y)-1)%mod;
            cout<<ans<<endl;
        }
    return 0;
}