并查集思想及例题

并查集是一种非常精巧而实用的数据结构，它主要用于处理一些不相交集合的合并和查询问题。经典的应用有：判断连通性、最小生成树 Kruskal 算法、最近公共祖先（Least Common Ancestors, LCA）等。并查集在算法竞赛中也十分常见：一是简单且高效，二是应用很直观，三是容易和其他数据结构和算法结合。

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例题：

剪邮票 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)

有一个简单粗暴的方法：暴力求排列 + 检查连通性：

1. 用递归暴力列出所有可能的排列：从 12 个数中选 5 个数。
2. 判断这 5 个数是否连通.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int star[]={1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14};
int num=0; //统计排列的个数
void Perm(int begin,int end){
    if(begin == 5)  //得到一个5个数的排列
          num++;    //统计排列个数
    else
       for(int i = begin;i <= end;i++) {
            swap(star[begin],star[i]); 
            Perm(begin+1,end);
            swap(star[begin],star[i]); 
        }
}
int main(){
    Perm(0,11);  //求从第0个数到第11个数的全排列。
    cout << "total arrange=" << num/120 <<"\n";
       //注意5个数的排列不需要有序，所以除以120，这120个都是重复的。
       //例如： 1 2 3 4 5和2 3 4 1 5这种数是重复的，除去5！
    return 0;
}

检查连通性（一个排列的 5 个数，检查每个数是否与其它的数相连）

可以先考虑 2 个数的连通。有一个好用的小技巧：在原图中向上为 -4 ，向下为+4 ，向左为 -1，向右为 +1，但是遇到 “3,4,5,7,8” 这种 4+1=5，这种情况不符合，所以我重构了一下原图，如下： 

这样，向上为 -5，向下为 +5，向左为 -1，向右为 +1。经过这个转换，差值为 1 的两个数一定在同一行，差值为 5 的两个数一定在同一列。

int b[]={-1,1,-5,+5};  //上下左右4个方向。
for(int i=0;i<=4;i++)  // 第i个数和第j个数是否相邻。
      for(int j=0;j<=4;j++)
        for(int k=0;k<=3;k++)  // k是上下左右4个方向
             if(star[i]+b[k]==star[j])   // i和j在k方向上连通。
                 ...... 

关于判断 5 个数是否连通，我决定用前面学到的 BFS 来处理： 比如现在有一个排列{2, 3, 4, 8, 9}（见下图中的位置），我用 BFS 队列的步骤是：

•   2 进队列：当前队列是 （2)；
• 2 的邻居进队列：当前队列是 (2, 3)；
• 弹出 2：当前队列是 (3)；
• 3 的邻居进队列：当前队列是 (3, 4, 8)；
• 弹出 3 ；当前队列是 (4, 8）
• 4 的邻居进队列：当前队列是 (4,8,9)
• 弹出 4：当前队列是 (8, 9)
• 8 没有没处理过的邻居了。
• 弹出 8：当前队列是 (9)
• 弹出 9；
• 队列空。

如果 5 个数都进过队列，那么它们就是连通的。

 下面是完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int star[]={1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14};
int num=0; //统计排列的个数
int b[]={-1,1,-5,+5};//上下左右4个方向。
bool bfs(void){
    //star[0]~star[4]这前5个数是递归出来的5个数。用BFS判断它们是否连通
    bool status[5]={false};
     //这5个数的状态，判断其中某个数是否已经用队列处理过
    int p=0;//进队列的个数。如果5个数都进过队列