【机器学习】线性回归 多项式线性回归

V1.0

多项式回归

多项式回归可以看作多元线性回归模型的特殊版本，经过处理后多项式线性回归可以退化为多元线性回归。

多项式回归的公式

多项式回归的公式如下
$$y=w_0+w_{1,1}\ast x_1+w_{1,2}\ast x_1^2+...+w_{1,d_1}\ast x_1^{d_1}+w_{2,1}\ast x_2+...+w_{n,d_n}\ast x_n^{d_n}$$
公式中有$n$元（$x_1...x_n$），每一元最高幂为$d_n$次方。
多项式模回归模型的求解，即是要求最优的模型参数，使得模型的总体损失，比如使用MSE损失函数，对于训练样本最小。

特征代换

怎样求解含幂的特征维度的的参数呢，例如求解$x_1^2$或$x_1^3$的的参数呢。
这里无需多虑，我们的输入数据是多维特征向量（假设$N$维）是离散的，即数据（特征向量）是一条一条输入（是指不牵扯到连续性）的。
例如对于$x_1^2$，在处理特征向量时，只需要将其使用$x_1$求平方，代入模型公式，再当成普通的特征维度处理即可，将所有的高次幂都使用这种方法处理，即可得到特征代换后的多元线性回归模型的公式。对于该多元线性回归模型求解，就是对多项式回归模型的求解。
这里需要理解的的重点是对于单一的特征维度，因其各次幂可以求出，且各次幂可以带入到多项式回归公式中，作为普通的一个维度，模型中的高次幂都可以这样处理。
所有的特征向量都可以如此处理，那么整个多项式回归模型就退化为了多元线性回归模型，求解该多元线性回归模型就是求解该多项式回归模型。
使用特征代换之后，得到下式，该式即可当做普通的多元线性回归模型处理，求解该模型得到的参数即为对应的多项式模型的参数
$$y=w_0+w_{1,1}\ast x_{1,1}+w_{1,2}\ast x_{1,2}+...+w_{1,d_1}\ast x_{1,d_1}+w_{2,1}\ast x_{2,1}+...+w_{n,d_n}\ast x_{n,d_n}$$
其中
$x_{1,1}=x_1$
$x_{1,2}=x_1^2$
$x_{1,d_1}=x_1^{d_1}$
$x_{2,1}=x_2$
…
$x_{k,d}=x_k^d$（通式）
…
$x_{n,d_n}=x_n^{d_n}$

超越函数作为特征向量维度

对于超越函数，如果一个特征向量的某个维度是超越函数，其跟某另一个特征向量相关，那么也可以用特征代换的方法。
比如$\sin (x_1)$ 是特征向量中的特征维度。那么如果特征向量中有有$x_1$的维度，则可以使用$x_1$来计算$\sin (x_1)$一的值，并将其作为普通的特征维度代入，并使用多元线性回归解法求解即可。