货币兑换问题--动态规划策略求解

最新推荐文章于 2023-09-17 18:29:37 发布

lgcmg

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问题描述

考虑下面的货币兑付问题：在面值为 $\left(v_1,v_2,\cdots,v_n\right)$ 的n种货币中，需要支付 $y$ 值的货币，应如何支付才能使货币支付的张数最少，即满足： $\sum_{i=1}^{n}{x_iv_i=y}$ ，且 $\sum_{i=1}^{n}x_i$ 最小。

输入

（1）货币种类的个数；
（2）从小到大输入货币的价值（其中第一个必须为1）；
（3）要兑换的钱的价值（整数）。

输出

兑换的货币个数的最小值

测试用例

输入（Input）
6
1 2 5 10 20 50
46
输出（Output）
兑换的最小货币个数是4

解题思路

本题使用动态规划策略进行算法设计。

1.划分子问题

原问题：使用货币 $(v_1,v_2,\cdots ,v_n)$ 凑出总金额为 $m$ 的需要的钱币最少数量

int exchange(n,[v1,v2,...,vn],m);

子问题：使用货币 $(v_1,v_2,\cdots ,v_j),j \leq n$ 凑出总金额为 $\leq m)$ 的需要的钱币最少数量

int exchange(j,[v1,v2,...,vj],i);

第1阶段，j=1，考虑钱币面值的所有可能取值为 $v_1,)$ ，凑出总金额为m需要的钱币数量。
第2阶段，j=2，考虑钱币面值的所有可能取值为 $v_1,v_2,)$ ，凑出总金额为m需要的钱币数量。
第j阶段，j=j，考虑钱币面值的所有可能取值为 $(v_1,v_2,\cdots,v_j,)$ ,凑出总金额为m需要的最少钱币数。
…
第n阶段，j=n，考虑钱币面值的所有可能取值为 $(v_1,v_2,\cdots,v_j,\cdots ,v_n)$ ,凑出总金额为m需要的最少钱币数。

2.找递推关系（书上的说法叫动态规划函数）
决定第 $j$ 个序列 $(v_1,v_2,\cdots, v_j)$ 的解，是在第 $j - 1$ 个序列 $(v_1,v_2,\cdots,v_{j-1})$ 已经完成的基础上，有三种情况：

第 $j$ 个面值的货币 $v_j$ =需要支付的金额 $i$ ，要完成支付只需要1张, $Q [i] [j] = 1$ 。
第 $j$ 个面值的货币 $v_j$ >需要支付的金额 $i$ , 此时问题的解与 $j - 1$ 是一样的。 $Q\left[i\right]\left[j\right]=Q\left[i\right]\left[j-1\right]$ 。（比如要支付的金额是5元，这货币面值是10元，显然咱们不能做赔本买卖，这是自然就会想到用更少的面值的货币进行交易，问题与上一阶段是同解的）
第 $j$ 个面值的货币 $v_j$ <需要支付的金额 $i$ ，说明 $v_j$ 可以用于支付，而且使用 $v_j$ 支付之后剩下的需要支付的金额变为 $i-v_j$ ,问题转化为 $Q\left[i-v_j\right]\left[j\right]+1$

3.填表
表格Q是二维的，m+1行，n+1列，存放的是每一个子问题的解。

编程实现

#include<iostream>
using namespace std;

int exchange(int n, int *v, int money) {
	int i,j;
	int Q[2000][20]; //动态规划表
	for(i=0; i<=money; i++) Q[i][0]=0; //初始化首行 咱没钱，还是不要做生意了 
	for(j=0; j<=n; j++) Q[0][j]=0;     //初始化首列 老板破产了，咱想做生意都不行
	for(i=1; i<=money; i++) {
		for(j=1; j<=n; j++) {
			if(v[j]==i)
				Q[i][j]=1;
			else if(v[j]>i) 
				Q[i][j] = Q[i][j-1];
			else
				Q[i][j] = Q[i-v[j]][j] + 1; 
		}
	}	
	return Q[money][n];
}
int main() 
{
	int n,i,v[10],money;
	cin >> n; // 我们钱币面值有n种
	for(i=1; i<=n; i++)
		cin >> v[i];
	cin >> money; 
	cout << "兑换的最小货币个数是" << exchange(n,v,money) << endl;
	return 0;
}