快速幂算法：从数学之美到代码实现的精妙旅程-优快云博客

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快速幂算法：从数学之美到代码实现的精妙旅程

引言

在算法学习中，快速幂算法（Fast Exponentiation）绝对称得上是“优雅与高效”兼具的代表。虽然它的实现代码可能只有寥寥几行，但其背后蕴含的数学思想，却让人拍案叫绝。今天，我将带你一起拆解快速幂的数学原理，步步深入，同时用代码逐步演示它的高效实现方式。这不仅是一场算法的科普，更是一场数学的思维盛宴。

什么是快速幂？

快速幂的目标是高效计算 $x^n$ 的值，其中 $x$ 为基数， $n$ 为指数。假如用最朴素的方法计算，你可能会循环 $n$ 次，将 $x$ 连续相乘，但如果 $n$ 很大，比如 $10^9$ ，这样的暴力算法效率堪忧。而快速幂算法的精髓在于，通过指数的二进制拆分，将计算复杂度从 $O (n)$ 降低到 $O(\log n)$ 。

数学推导：指数的二进制“分解”

快速幂的核心在于观察指数 $n$ 的二进制表示。我们以 $x^{13}$ 为例，其中 $13$ 的二进制是 $1101$ ：

$x^{13} = x^{8} \cdot x^{4} \cdot x^{1}$

这里的思路是，将 $n$ 表示为若干个 $2^k$ 的加和，然后利用以下数学性质：

$x^{a+b} = x^a \cdot x^b \quad 和 \quad x^{2k} = (x^k)^2$

这意味着我们可以通过逐步平方和乘法，将计算过程“拆分”，而不需要逐次相乘。

算法实现：递归与迭代的双路径

递归实现

递归是数学推导的天然语言。我们可以通过将问题分解为子问题，逐步解决：

def fast_pow_recursive(x, n):
    """
    递归实现快速幂算法
    :param x: 基数
    :param n: 指数（非负整数）
    :return: x^n 的值
    """
    # 基础边界
    if n == 0:
        return 1
    if n < 0:
        return 1 / fast_pow_recursive(x, -n)

    # 递归拆解
    half = fast_pow_recursive(x, n // 2)
    # 如果指数是偶数
    if n % 2 == 0:
        return half * half
    else:  # 如果指数是奇数
        return half * half * x

# 示例
print(fast_pow_recursive(2, 10))  # 输出：1024

核心说明：

如果 $n = 0$ ，结果直接是 $1$ ；
如果 $n$ 是偶数，我们只需计算一次 $x^{n/2}$ 再平方；
如果 $n$ 是奇数，需要多乘一次 $x$ 。

迭代实现

递归实现虽优雅，但在实际中，迭代版本更常用，因为它避免了递归栈的开销：

def fast_pow_iterative(x, n):
    """
    迭代实现快速幂算法
    :param x: 基数
    :param n: 指数（非负整数）
    :return: x^n 的值
    """
    result = 1  # 结果初始化为1
    base = x    # 当前基数
    exp = abs(n)  # 取指数的绝对值以支持负数

    while exp > 0:
        # 如果当前指数为奇数，累乘当前基数
        if exp % 2 == 1:
            result *= base
        # 基数平方，指数减半
        base *= base
        exp //= 2

    # 如果指数是负数，取倒数
    return result if n >= 0 else 1 / result

# 示例
print(fast_pow_iterative(2, -3))  # 输出：0.125

核心说明：

迭代版本通过“指数右移”的方式（exp //= 2），逐步处理每一位。
每次迭代都根据二进制位是否为 $1$ 决定是否累乘当前基数。

性能比较：暴力法 vs 快速幂

我们用简单的性能测试比较两种方法在大指数情况下的表现：

import time

# 暴力法实现
def brute_force_pow(x, n):
    result = 1
    for _ in range(n):
        result *= x
    return result

# 测试用例
x, n = 1.001, 100000

# 暴力法
start = time.time()
brute_force_pow(x, n)
print("暴力法耗时：", time.time() - start, "秒")

# 快速幂
start = time.time()
fast_pow_iterative(x, n)
print("快速幂耗时：", time.time() - start, "秒")