Codeforces Round #815 (Div. 2) D. Xor-Subsequence（字典树优化DP）

题目链接
Xor-Subsequence

题意
给定一个长度为 $n$ 的数组，下标从0开始。现在要在数组中找到一个最长的子序列，满足子序列中相邻两项$a[i]$和$a[j](i>j)$有 $a_j\oplus i<a_i\oplus j$，求满足要求的最长子序列的长度。

分析
在简单版本中 $a[i]<=200$，发现$a[i]$和$a[j]$只对异或结果的第八位有影响，当$i-j>256$时，必有$a_j\oplus i>a_i\oplus j$，因此只需在 $i-j<=256$ 时进行转移。时间复杂度$O(256n)$。

在困难版本中 $a[i]<=10^9$，暴力转移的时间复杂度为$O(n^2)$，需要发现一些性质进行求解。对于不等于的情况先将其转为等于进行考虑。$a_j\oplus i=a_i\oplus j$ 可得 $a_i\oplus i=a_j\oplus j$，设 $b_i=a_i\oplus i,b_j=a_j\oplus j$，$a_j\oplus i<a_i\oplus j$ 说明从高位到低位前 $k$ 位 $b_i$ 和 $b_j$ 相等，第$k+1$位 $a_i\oplus j>a_j\oplus i$，即第$k+1$位$a_i\ne j$且$a_j=i$，分情况讨论。

$a_i$	$j$	$a_j$	$i$
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1

考虑在字典树上存储 $a_i\oplus i$，在字典树上查询时需要知道下标信息，因此还需要存储下标 $i$，字典树上每个结点有两个状态0和1，表示第$k$位上0/1状态的最大值。时间复杂度$O(nlog(n))$

AC代码
easy version

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e5+10;
int a[N],f[N],mx[N];
int n;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>n;
		for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			f[i]=1;
			for(int j=i-1;j>=0;j--)
			{
				if(i-j>256) break;
				if((a[i]^j)>(a[j]^i))
				{
					f[i]=max(f[i],f[j]+1);
				}
			}
		}
		int ans=0;
		for(int i=0;i<n;i++) ans=max(ans,f[i]);
		cout<<ans<<endl;
	}
	
	return 0;
}

hard version

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e5+10;
const int M=31*N;
int tr[M][2],dp[M][2];
int a[N],f[N];
int n,tot;

void init()
{
	for(int i=0;i<=tot;i++)
	{
		memset(tr[i],0,sizeof(tr[i]));
		memset(dp[i],0,sizeof(dp[i]));
	}
	tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=0;
}

void insert(int x,int y)
{
	int p=0;
	for(int i=30;i>=0;i--)
	{
		int u=x>>i&1;
		int z=y>>i&1;
		if(!tr[p][u]) tr[p][u]=++tot;
		p=tr[p][u];
		dp[p][z]=max(dp[p][z],f[y]);
	}
}

int query(int x,int k)
{
	int ans=1;
	int p=0;
	for(int i=30;i>=0;i--)
	{
		int u=x>>i&1;
		int y=tr[p][!u];
		int z=k>>i&1;
		ans=max(ans,dp[y][!z]+1);
		if(!tr[p][u]) break;
		p=tr[p][u];
	}
	return ans;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>n;
		init();
		for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			f[i]=query(a[i]^i,a[i]);
			insert(a[i]^i,i);
		}
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);
		cout<<ans<<endl;
	}
	
	return 0;
}