高等代数 多项式环(第7章)5* 结式与域

一.结式

1.概念:

2.结式与公共复根
(1)多项式存在公共复根的判定:

定理1:设$$\begin{gathered} f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_n \\ g(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+...+b_m \end{gathered}$$是$K[x]$中2个多项式,其中$n,m>0$,则$f(x),g(x)$的结式$Res(f,g)=0$的充要条件是$a_0=b_0=0$或$f(x),g(x)$有公共复根

(2)求多项式的公共复根:

(3)通过多项式的复根求结式:

定理2:设$$\begin{gathered} f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_n(a_0\ne 0) \\ g(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+...+b_m(b_0\ne 0) \end{gathered}$$再设$f(x)$的复根为$c_1,c_2...c_n,g(x)$的复根为$d_1,d_2...d_m$,则$$Res(f,g)=a_0^m\prod _{i=1}^{n}g(c_i)=(-1{)}^{mn}{b}_0^n\prod _{j=1}^{m}f(d_j)$$

3.结式与判别式:

定理3:设$f(x)$是数域$K$上$n$次多项式,首项系数为$a_0$,则$$D(f)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_0^{-1}Res(f,f^{\prime })$$

二.域与域上的一元多项式环
1.分式域
(1)分式:





(2)域与分式域:

命题1:域$F$中没有非平凡的零因子,从而域一定是整环

(3)分式的基本性质:

(4)分式的次数:

(5)既约分式:

2.模$p$剩余类域与模$m$剩余类环
(1)同余关系:

命题2:若$a\equiv b(mod7),c\equiv d(mod7)$,则$$a+c\equiv b+d(mod7),ac\equiv bd(mod7)(16)$$

命题2’:若$a\equiv b(modm),c\equiv d(modm)$,则$$a+c\equiv b+d(modm),ac\equiv bd(modm)(21)$$

(2)剩余类:


(3)剩余类环与剩余类域:

定理4:若$p$是素数,则$Z_p$是1个域

3.域的特征
(1)域的特征的概念:

定理5:设$F$是1个域,其单位元为$e$,则或者对$\forall n\in N_{+}$都有$ne\ne 0$,或者存在1个素数$p$,使得$pe=0$,从而对$\forall l$满足$0<l<p$都有$le\ne 0$

(2)域的特征的性质:

命题3:设域$F$的特征为素数$p$,则$$ne=0\iff p|n$$

命题4:设域$F$的特征为素数$p$,任取$a\in F^{\ast }(F^{\ast }$表示$F$中所有非零元组成的集合),则$$na=0\iff p|n$$

4.域$F$上的一元多项式环
(1)概念:

注:目前为止,仅有该定理需要用到"域含有无穷多个元素"

(2)有理数域上整系数多项式不可约的判定:

命题5:设$f(x)=a_n{x}^n+...+a_{1}x+a_0$是1个整系数多项式,$p$是1个素数,$p\nmid a_0$;把$f(x)$的各项系数模$p$变成$Z_p$的元素,得到$Z_p$上的1个多项式,记作$\tilde{f}(x)$,即$$\tilde{f}(x)=\overline{a_n}{x}^n+\overline{a_{n-1}}{x}^{n-1}+...+\overline{a_1}x+\overline{a_0}(29)$$如果$\tilde{f}(x)$在$Z_p$上不可约,那么$f(x)$在$Q$上不可约

5.中国剩余定理:

中国剩余定理:设$m_1,m_2...m_s$是两两互素的正整数,$b_1,b_2...b_s$是任意给定的$s$个整数,则同余方程组$$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(mod{m}_1)\\ x\equiv b_2(mod{m}_2)\\ ...\\ x\equiv b_s(mod{m}_s)\end{array}(32)$$在$Z$中必有解,并且如果$c,d$是2个解,那么$$c\equiv d(mod{m}_1{m}_2...m_s)(33)$$