【DP1】钢条分割详解

[DP]
原文再续书接上一回，上一篇文章的背包讲的有点过于狭隘，我就某一类问题解释一种算法的思想：动态规划(Dynamic Programming)。简称DP。
我们在生活中不免会遇到一类问题，求什么什么的最大，什么什么的最小。在这类问题中，如果有算法基础的同学可能会知道贪心算法。按个人理解，贪心算法就是DP算法中的一类。
那么DP是什么？我们直接用一道题目来举例子去解释DP。
这里采用的例子引用自CLRS中的钢条分割问题。我只做一个概括性复述。有兴趣的同学可以去看看原著（这里强力吹一波CLRS，如果能够静下心来看，这本书还是相当的不错。）
长度为n英寸的钢条，若给出一个数组p[n]，该数组是指不同长度下钢条所能给出的价格，例如：

有一种很蠢但是很好理解的算法，就是我一共有n个元素(长度为n的钢条分割最小单元为1的情况下，我最多有n个元素)。所以我一共有2^(n-1)个方案（含重复的）我每个方案都算一个价格出来，在其中取最大值不就可以了吗？
当然可以，但是开销也是蹭蹭蹭地往上跑。

我们先提出一种递归的解法。
我们来分析最初的情况，我们从最左端开始看
我们在一开始，在i=1的情况下，我们可以选择切/不切，我们也能推广到一般条件，当i=k时候切还是不切。
如图：

那么我们只需要外层嵌套一次for循环，我们有长度为N的一段钢条，那么只切一刀的情况下，我们一共有n-1种切法；切割完之后依次是

我们的每一次操作，都是直接把左边的钢条直接转换成价值。且设每一种切割得到的价值为Cut-Steel[n]i用来代表在第i个位置，切割长度为n的钢条所得到的价值
那么我们每一次切割得到的价值就有如下的规律

我们这里等号右边的Cut-Steel[n-i]并没有指明切割的位置，为什么？我们往后看。
那我根据这条式子我该如何得到该问题整体的最优解？其实关键还是我们切的位置。
那我们就来求这个切的位置
其实啊，很简单，在长度为n的钢条中（首次切割），我们不是有n-1种方案嘛，那我们设置一个求max的过程，不就能求出n-1种方案里面，最优解是什么吗。
什么？你还是不懂？那我们想想，假设我们切割位置是k哈。那我们当前切割完能拿到手的钱就是p[k]嘛。
那我就不管我前面的部分咯，我后面只剩下n-k长的钢条，那我们现在的问题又回来了，我们要求长度为n-k的钢条的最高总价值嘛。那不就成了，我们问题回到了原点，只不过长度变短了罢了。我只需要在递归的时候，将长度为0设置返回值为0就可以了，那是不是就保证递归策略有出口了。
也就有最优子结构为如下

那我们接下来写一下伪码表示吧，随后我贴上Cpp的递归代码，应该就一目了然了。

Function CUT-STEEL(p,n)//这里p表示的是价值数组，n表示的是钢条长度
	if(n==0)return 0;//这里表示递归策略的出口
	q=-∞
	i from 1 to n
		q=max(q,p[i]+CUT-STEEL(p,n-i))//每一层循环就是在求切一次的最优
	return q;

建议这里可以根据伪码和自己开发用的趁手的语言去实现一下。
我这里写算法主要还是用C++，Cpp的递归代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int max(int a, int b) {
   
	return a > b ? a : b;
}
int value(int valuesTable[],