同余问题及线性同余方程（组）

同余

定义

如果a,b除以c的余数相同，就说a和b关于模c同余记作a≡b(mod c)

还可以这样理解
$a-b=t$，若$t|c$（表示t可以被c整除），则$a\equiv b(modc)$

性质

同余关系是一种等价关系。

1.自反性：一个数永远和自己本身同余 a≡a(mod)

2.对称性：a和b同余，b也就同余a,即 a≡b(mod m)等价于b≡a(mod m)

3.传递性：a和b同余，b和c也同余，可以推出a和c也是同余的

运算

加减法

若 a≡b(mod m)，x≡y(mod m)则有，a+x≡b+y(mod m)
证明：
根据定义，若 a≡b(mod m)则可以总可找到k1,k2满足 ：a+k1*m=b+k2*m
同理，对于x≡y(mod m)，也总可找到k3,k4满足：x+k3*m+y+k4*m
等式两边分别相加有

$(a+x)+m\ast (k1+k3)=(b+y)+m\ast (k2+k4)$
两边同时取模m即得到

a+x≡b+y(mod m)

乘法

若 a≡b(mod m)，x≡y(mod m)则有，ax≡by(mod m)
证明与加法相似(略)

一个特殊的？除法？

如果ac≡bc(mod m),且c和m互质，则有a≡b(mod m)(就是说同余式两边可
以同时除以一个和模数互质的数)。
证明：
对于ac≡bc(mod m)，我们总可以找到k1,k2使得 $ac+k1\ast m=bc+k2\ast m$
移项有$c\ast (a-b)=m\ast (k2-k1)$
$c\ast (a-b)/m=(k2-k1)$
所以，可知，$c\ast (a-b)|m$
又因为c与m是互质(互素)的，因此，$(a-b)|m$
所以得到 $a\equiv b(modm)$

线性同余方程

给出a,b,m，求一整数x满足
a*x≡b（mod m） ，或给出无解
因为未知数的次数为1，所以我们称之为线性同余方程。
根据同余的定义，该式子等价于$a\ast x\%m=b$
也就是说，$a\ast x-b$是m的倍数
那么不妨设 $ax-b=-my$
即 ax+my=b
根据裴蜀定理及扩欧定理(exgcd)求解可得到任一特解
设特解为$x_0$，则其通解可以表示为
{ x0+kmd∣k∈Z}\lbrace x_{0}+ k\cfrac{m}{d}\mid k\in Z \rbrace{ x0​+kdm​∣k∈Z}其中$d=gcd(a,m)$

推论：其最小正整数可表示为$(x_0\%(\frac{m}{d})+\frac{m}{d})\%(\frac{m}{d})$

裴蜀（贝祖Bezout）定理

定理：
对于给定的正整数a，b方程ax+by=c有解的充要条件为：
c=k*gcd（a，b），k∈Z（c | gcd(a,b)）

证明：

https://blog.youkuaiyun.com/a_forever_dream/article/details/83859354

推论：

1. a,b 互质的冲要条件是，ax+by=1 整数解
2. 对于n元不定方程: $a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+\dots \dots +a_n{x}_n=m$当且仅当
   $gcd(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots \dots ，a_n)|m$时有整数解
3. $a_1,a_2,a_3,a_4,\dots \dots ，a_n$互质的充要条件是
   方程$a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+\dots \dots +a_n{x}_n$