8.1 伸展树

一、伸展树

• 引入伸展树的最初动机：具体来说，也就是试图利用所谓的局部性
  • 局部性(Locality):刚被访问过的数据，极有可能很快地再次被访问，这一现象在信息处理过程中数见不鲜
  • 局部性的BST描述：刚刚访问过的节点，极有可能很快地再次被访问。下一将要访问的节点，极有可能就在刚被访问过的节点的附近
  • 连续的m次查找(m >> n = |BST|), 采用AVL共需O(mlogn)时间
• 仿照自适应链表，利用局部性，能否更快？
• 逐层伸展
  • 节点v一旦被访问，随即转移至树根（通过左旋和右旋使之上升）
  • 自下而上，逐层单旋
    • zig( v->parent)
    • zag(v->parent)
  • 直到v最终被推送至树根
• 根据最坏情况，对该策略进行改进
• 双层伸展
  • 构思的精髓：向上追溯两层，而不是一层
  • 反复考察祖孙三代：g = parent§, p = parent(v), v
  • 根据它们的相对位置，经两次旋转，使得v上升两层，成为（子）树根
  • zig - zag / zag - zig
    • 与AVL树双旋完全等效，与逐层伸展别无二致
      
  • zig - zig / zag - zag
    
  • 折叠效果：一旦访问坏节点，对应发路径长度随即减半，最坏情况不致持续发生
  • 单趟伸展操作，分摊O(logn)时间
• 实现：伸展树接口

template<typename T>
class Splay:public BST<T>{//由BST派生
	protected:BinNodePosi(T) splay(BinNodePosi(T) v);//将v伸展至根
	public://伸展树的查找也会引起整树的结构调整，故search()也需要重写
		BinNodePosi(T) & search(const T & e);//查找（重写）
		BinNodePosi(T) insert(const T & e);//插入（重写）
		bool remove(const T& e);//删除（重写）
}; 

• 实现：伸展算法

template <typename T> BinNodePosi(T) v){
	if(!v) return NULL; BinNodePosi(T) p; BinNodePosi(T) g;//父亲、祖父
	while((p = v->parent) && (g = p->parent)){//自下而上，反复双层伸展
		BinNodePosi(T) gg = g->parent;//每轮之后，v都将以原曾祖父为父
		if(IsLChild(*v))
			if(LsLChild(*p)){/*zig - zig*/}else{/* zig - zag*/}
		else if(IsRChild(*p)){/*zag - zag*/}else{/*zag - zig*/}
		//每经过一次双层伸展，我们都需要将局部这棵新的子树接入到原树中对应 的位置，并更新相应节点的高度信息
		if(!gg) v->parent = NULL;//若无曾祖父gg，则v现即为树根；否则，gg此后应为以v为左或右孩子
		else(g == gg->lc)?attachAsLChild(gg, v):attachAsRChild(gg, v);
		updateHeight(g); updateHeight(p); updateHeight(v);
	}//双层伸展结束时，必有g == NULL,但p可能非空
	if(p = v->parent){/*若p为根，只需在额外单旋（至多一次）*/}
	v->parent = NULL; return v;//伸展完成，v抵达树根
}

//使用直接拼接的方式实现左旋或右旋
if(IsLChild(*v))
	if(IsLChild(*p)){
		attachAsLChild(g, p->rc);//p的右孩子当作g的左孩子
		attachAsLChild(p, v->rc);
		attachAsRChild(p, g);
		attachAsRChild(v, p);
	}else{/*zig - zag*/}
else
	if(IsRChild(*p)){/*zag - zag*/}
	else{/*zag - zag*/}

• 查找接口：伸展树的查找操作，与常规BST::search()不同，很可能会改变树的拓扑结构，不再属于静态操作

template <typename T> BinNodePosi(T) & Splay<T>::search(const T& e){
	//调用标准BST的内部接口定位目标节点
	BinNodePosi(T) p = searchIn(_root, e, _hot = NULL);
	//无论成功与否，最后被访问的节点都将伸展至根
	_root = splay(p ? p : _hot);
	//总是返回根节点
	return _root;
}

• 插入算法
  • 重写后的Splay::search()已集成了splay（）操作，查找失败后，_hot即是根节点
  • 直接在根节点附近插入目标节点
    
• 删除算法
  • Splay::search()查找（成功）之后，目标节点即是树根
  • 在树根附近完成目标节点的删除
  • 找到右子树中的最小者，将其伸展到右子树根节点的位置，同时连接左子树，就能获得删除目标节点后的伸展树
    
• 综合评价
  • 无需记录节点高度或平衡因子；编程实现简单易行——优于AVL树；分摊复杂度O(logn)——与AVL树相当
  • 局部性强，缓存命中率极高时（即k << n << m)
    • 效率可以更高——自适应的O(logk)
    • 任何连续的m次查找，都可在O(mlogk + nlogn)时间内完成
  • 仍不能保证单次最坏情况的出现，不适应于对效率敏感的场合