LeetCode每日刷题 109.有序链表转换二叉搜索树

最新推荐文章于 2025-05-16 01:45:00 发布

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文章标签：数据结构

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本文介绍了一种将有序链表高效转化为高度平衡二叉搜索树的方法，通过快慢指针寻找中位数作为根节点，利用分治策略递归构建左右子树，最终形成平衡二叉搜索树。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二叉搜索树定义：（Binary Search Tree）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；它的左、右子树也分别为二叉排序树。

高度平衡二叉树定义：一个二叉树每个节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1

解题方法

首先：确定根节点
根据二叉搜索树的性质我们将选择链表元素的中位数作为根节点的值。

这里对于中位数的定义为：如果链表中的元素个数为奇数，那么唯一的中间值为中位数；如果元素个数为偶数，那么唯二的中间值都可以作为中位数，而不是常规定义中二者的平均值。

根据中位数的性质，链表中小于中位数的元素个数与大于中位数的元素个数要么相等，要么相差 11。此时，小于中位数的元素组成了左子树，大于中位数的元素组成了右子树，它们分别对应着有序链表中连续的一段。
在这之后，使用分治的思想，继续递归地对左右子树进行构造，找出对应的中位数作为根节点，以此类推。

分治
具体地，设当前链表的左端点为 left，右端点right，包含关系为「左闭右开」，即 left 包含在链表中而 right 不包含在链表中。我们希望快速地找出链表的中位数节点 mid。

为什么要设定「左闭右开」的关系？由于题目中给定的链表为单向链表，访问后继元素十分容易，但无法直接访问前驱元素。因此在找出链表的中位数节点 mid 之后，如果设定「左闭右开」的关系，我们就可以直接用(left,mid) 以及 (mid.next,right) 来表示左右子树对应的列表了。并且，初始的列表也可以用(head,null) 方便地进行表示，其中null 表示空节点。

找出链表中位数节点的方法多种多样，其中较为简单的一种是**「快慢指针法」**。初始时，快指针fast 和慢指针 \textit{slow}slow 均指向链表的左端点left。我们将快指针fast 向右移动两次的同时，将慢指针 slow 向右移动一次，直到快指针到达边界（即快指针到达右端点或快指针的下一个节点是右端点）。此时，慢指针对应的元素就是中位数。

在找出了中位数节点之后，我们将其作为当前根节点的元素，并递归地构造其左侧部分的链表对应的左子树，以及右侧部分的链表对应的右子树。

class Solution:
    def sortedListToBST(self, head: ListNode) -> TreeNode:
        def getMedian(left: ListNode, right: ListNode) -> ListNode:
            fast = slow = left
            while fast != right and fast.next != right:
                fast = fast.next.next
                slow = slow.next
            return slow
        
        def buildTree(left: ListNode, right: ListNode) -> TreeNode:
            if left == right:
                return None
            mid = getMedian(left, right)
            root = TreeNode(mid.val)
            root.left = buildTree(left, mid)
            root.right = buildTree(mid.next, right)
            return root
        
        return buildTree(head, None)

复杂度分析
时间复杂度：O(nlogn)，其中 n 是链表的长度。
设长度为 n 的链表构造二叉搜索树的时间为 T(n)，递推式为 T(n)=2⋅T(n/2)+O(n)，根据主定理，T(n)=O(nlogn)。
空间复杂度：O(logn)，这里只计算除了返回答案之外的空间。平衡二叉树的高度为 O(logn)，即为递归过程中栈的最大深度，也就是需要的空间。

2020-08-18