从零开始的中国剩余定理学习_剩余群的逆元-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_45756956/article/details/114950074

STEP 1:费马小定理

若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数，则有a^(p-1)≡ 1(mod p)。

STEP 2:逆元

数论倒数，又称逆元

求余不适用于除法

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错误）

对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，就需要用到逆元啦。

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)

推论：(a/b)mod m = (a/b)*1mod m = (a/b)bc mod

m=a*c(mod m);

即a/b的模等于a * (b的逆元)的模

逆元的作用

一句话就是，将除法改为乘法；

例如求 (A / B) %p ；在B的值非常大的情况下，B作为除数，极有可能会爆精度；除数不能太大；所以我们可以把他转化为乘法来解决；

下一个问题：该怎么求逆元呢？

STEP 3:求逆元

方法一：****费马小定理****

*a^(p-1) ≡1 (mod p)*

两边同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod p)

应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

代码：

ll pow_mod(ll a, ll b, ll p){//a的b次方求余p 
    ll ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
        a = (a * a) % p;//乘法还可以稍微优化一下
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
ll Fermat(ll a, ll p){//费马求a关于p的逆元 
        return pow_mod(a, p-2, p);
}

方法二：拓展欧几里得

首先来复习一下欧几里德，欧几里德算法，又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

代码：

ll gcd(ll a,ll b)//欧几里德 辗转相除求最大公约数
{	
return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得定理：对于两个不全为0的整数a、b，必存在一组解x,y，使得ax+by==gcd(a,b);

代码：

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)//拓展欧几里得
{
	if(!b){d=a;x=1;y=0;}
	else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);} 
}
ll inverse(ll a,ll b)//求逆元
{
	ll d,x,y;
	ecgcd(a,b,d,x,y)
	return d==1?(x%b+b)%b:-1;
}

STEP4 ：中国剩余定理

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

即n%3=2、n%5=3、n%7=2；求n

代码：

//有问题
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	ll res=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return res;
}
//中国剩余定理,pri[]存放互质的数，r[]存放余数，n为个数 
ll china(ll pri[],ll r[],ll n){
	ll M=1,m,d,res=0;
	for(int i=0;i<n;i++) 
		M*=pri[i]; //最小公倍数
	for(int i=0;i<n;i++){
		m=M/pri[i]; //m为除当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数
		ll x,y;
		d=exgcd(pri[i],m,x,y); // pri[i]*x+m*y=gcd(pri[i],m]
		res=(res+y*m*r[i])%M; 
	} 
	return (res%M+M)%M;  //满足的最小解 
}

中国剩余定理具体公式

在这里插入图片描述