【图论】单源最短路径：dijkstra，spfa，floyd（含全部代码）

本文主要介绍求单源最短路径的三个主要算法diijkstar、spfa、floy。文末给出完整代码。在正式分析算法时，我们需要先了解一些基本知识：
最短路径依赖于一个重要性质：两个结点之间的一条最短路包含着其他的最短路径。
松弛操作：从s到v的最短路径，与从s到u的最短路径+u到v的边权重，两者进行比较，取最小值，并更新最短路径的估计值及v的前驱属性。通俗的讲就是两边之和大于第三边。
三角不等式：对于任何边（u，v）∈E，都有δ（s，v）≤δ（s，u）+w（u，v）
非路径性质：如果从结点s到结点v之间不存在路径，则总是有v.d = δ（s，v） = ∞
收敛性质：对于某些结点u,v∈V，如果s到u→v是图G的一条最短路径，并且在对(u,v)进行松弛操作前的任意时间有u.d = δ（s，u），则在之后的所有时间都有v.d = δ（s，v）
路径松弛性质：如果p=<v0,v1,···，vk>是从源节点s=v0到结点vk的一条最短路径，且我们对p中边所进行松弛操作的次序为(v0,v1),(v1,v2),···，(vk-1,vk)则vk.d=δ（s，vk）。
前驱子图性质：对于所有结点v∈V，一旦v.d=δ（s，v），则前驱子图是一棵根节点为s的最短路径树。
基于这些性质我们开始分析算法，首先是floyd算法

floy算法

floy算法中的图采用邻接矩阵进行存储，然后枚举n各顶点，对邻接矩阵进行二重循环遍历，采用松弛操作进行距离的缩短。最终得到的距离矩阵中，每一个元素的值即为从（行数）到（列数）的距离
核心代码如下

int _Map[110][110]；
int n3, m3;
void floyd()
{
   
	cout << "请输入点数和边数：" << endl;
    cin >> n3 >> m3;
    memset(_Map, 0, sizeof(_Map));
    for (int i = 1; i <= n3; ++i)
        for (int j = 1; j <= n3; ++j)
            cin >> _Map[i][j];
    cout << "floyed算法结果：" << endl;
    for (int k = 1; k <= n3; ++k)
        for (int i = 1; i <= n3; ++i)
            for (int j = 1; j <= n3; ++j)
                if (_Map[i][j] > _Map[i][k] + _Map[k][j])
                    _Map[i][j] = _Map[i][k] + _Map[k][j];
    for (int i = 1; i