学习笔记9||数据结构||用数组来实现小根堆

用数组来实现堆

堆：维护一个数据集合//下标从1开始，比较方便
手写堆常用操作：
1、插入一个数:heap[++size]=x;up(size);
2、求当前集合当中的最小值:heap[1]
3、删除最小值:heap[1]=heap[size];size–;down(1);//用最后一个点覆盖第一个，把最后一个点干掉(size–),down把其变成小根堆
(stl里的堆同样支持这三个操作)
4、删除任意一个元素；heap[k]=heap[size];size–;down(k);up(k);//down,up只会执行其中一个，跟删除最小值相同的过程。
5、修改任意一个元素，heap[k]=x;down(x);up(x);

堆的基本结构：

堆是一棵完全二叉树(除了最后一层，其余都是非空的)。
对于小根堆，根节点小于等于左右子节点，因此根节点是最小值。
堆的存储：x是根节点的话，2x是左儿子，2x+1是右儿子。即用一个一维数组可以实现堆的存储。

堆的基本操作：

1、//往下调整,当把某个数变大之后进行的操作。某数变大之后就不满足堆的存储结构，要将变化之后的数下移。注意进行交换的时候是与当前三个数当中最小的值进行交换
down(x){
}
2、//往上调整，当某数变小之后进行的调整。
up(x){
}

应用：例题
用数组表示堆排序，输入一个长度为n的整数数列，从小到大输出前m小的数。

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#include < iostream>
#include< algorithn>

using namespace std;

const int N=100010;

int n,m;
int h[N],size;

void up(int u){
while(u/2&&h[u]<h[u/2])//u的父节点存在，并且父节点大于修改之后的节点u，那么u就要up
swap(h[u]),h[u/2]);
u/=2;//此时u已经变成了父节点，也就是完成了上升
}

void down(int u){
int t=u;
if(u*2<=size&&h[u*2]<h[t]) t=u*2;//先判断左儿子是否存在，存在的话是不是小于新的这个节点
if(u*2+1<=size&&h[u*2+1]<h[t]) t=u*2+1;
if(u!=t){
swap(h[u],h[t]);
down(t);
}
}

int main(){
scanf("%d",&n);
//建立堆;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
    size=n;
for(int i=n/2;i;i--) down(i);//对堆进行排序，形成正确顺序的堆.整个的时间复杂度小于n
while(m --){
		printf("%d",h[i]);
		h[i]=h[size];
		size--;
		down(1);
}
return 0;
}

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for(int i=n/2;i;i–) down(i);//解释 从倒数第二层开始down 直到1；
t保存的是最小值，u是输入的，要是u并不是最小的就进行交换。
down是一个递归的运算，只有u和t不相等时才进入if条件进行处理，也就是可以进行递归的down，这个时候u已经变成课儿子的位置，已经进行了递归。

堆的应用

模拟堆：用数组来模拟堆，实现5个基本操作
DK 删除第k个插入的数
DM删除最小值

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#include < iostream>
#include< algorithn>
#include< string.h>
using namespace std;

const int N=100010;

int n,m;
int h[N]，ph[N],hp[N],size;//ph中存放的是第k次插入的元素是啥，hp中存放的是堆里的值是第几次插入的。

//交换两个元素，要记录第k个插入的数值
void heap_swap(int a,int b){
      swap(ph[hp[a]],ph[hp[]b]);
      swap(hp[a].hp[b]);
      swap(h[a],h[b]);
      
}


void up(int u){
while(u/2&&h[u]<h[u/2])//u的父节点存在，并且父节点大于修改之后的节点u，那么u就要up
heap_swap(h[u]),h[u/2]);
u/=2;//此时u已经变成了父节点，也就是完成了上升
}

void down(int u){
int t=u;
if(u*2<=size&&h[u*2]<h[t]) t=u*2;//先判断左儿子是否存在，存在的话是不是小于新的这个节点
if(u*2+1<=size&&h[u*2+1]<h[t]) t=u*2+1;
if(u!=t){
swap(h[u],h[t]);
down(t);
}
}

int main(){

scanf("%d",&n);
//建立堆;
while(n--){
char op[10];
int k,x;
scanf("%s",&op);

if(!strcmp(op,"I")){
   scanf("%d",&x);
   size++;
   m++;
   ph[m]=size,hp[size]=m;
   h[size]=x;
   up(size);
}
else if(!strcmp(op,"PM")) return h[1];
else if(!strcmp(op,"DM")){
  heap_swap(1.size);
  size--;
  down(1);
  
}
else if(!strcmp(op,"o")){
   scanf("%d",&k);
   k=ph[k];
   heap_swap(k,size);
   size--;
   down(k),up(k);
}
else{
     scanf("%d%d",&k,&x);
     k=ph[k];
     h[k]=x;
     down(k),up(k);
 }
}
return 0;
}

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