关于线段树的一些魔幻操作[学习笔记] 转自xyz32768

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引入

• 众所周知，线段树可以维护序列，进行区间操作
• 单点加 + 区间求和
• 区间加 + 区间求和
• 区间加 + 区间乘 + 区间求和
• (省略…)
• 但是有些操作呢，又不能像上面这三个问题一样通过简单的打标记 + 提取区间解决
• 仍需要用到一些$trick$

一、势能线段树

• 我们知道，线段树能够通过打标记实现区间修改的条件有两个：
• $1.$能够快速处理标记对区间询问结果的影响
• $2.$能够快速实现区间的合并
• 但有的区间修改不满足上面的条件
• 但某些修改存在一些奇妙的性质，使得序列每个元素被修改的次数有一个上限
• 可以在线段树每个节点上记录一个值，表示对应区间是否每个元素都达到了修改次数的上限
• 区间修改时暴力递归到递归到叶子节点，如果在这个途中碰到了一个节点，这个节点对应的区间内的每个点都已经达到了修改次数上限，就直接$return$掉
• 可以证明时间复杂度为$O(nlogn)$ * 区间修改次数上限
• 可以举几个简单例子说明一下

①区间开平方，区间求和

• 一个数$x$被开平方$O(loglogx)$后会变成$1$或$0$,当然是向下取整不考虑小数，继续开根后不变
• 所以线段树节点上用一个变量记录是否区间内全为$1$或$0$
• 修改递归到叶子的时候，如果达到了区间内全为$1$或$0$的节点就$return$掉
• 复杂度O（nlognlogx）

②区间取模，区间求和

• 一个数$x$对$p$取模，如果$x\ge p$则$x$至少变小一半，前置知识
• 此时每个节点维护当前对应区间的和以及区间最小值
• 区间对$p$取模时仍然递归到叶子
• 如果某个节点对应的区间最小值小于$p$直接$return$掉
• 复杂度$O(nlognlogx)$

③区间除(向下取整)，区间加，区间求和

• 区间内的数整除$1$是无效的，直接跳过即可
• 否则整除一个数会使得区间内最大值与最小值的差至少减少一半
• 维护区间最小值和最大值以及区间和，区间懒标记
• 整除时递归到叶子即可
• 如果某个节点对应的区间$max/d-max==min/d-min$，那么就说这个节点对应的区间的内的所有数都相等了，我们就不用暴力往下更新了，直接$return$即可，否则的话还是暴力到叶节点。
• 因为区间加减都是一个数的话是不会影响最大值和最小值的差的，所以我们还是最多做log(max-min)次暴力就可以了，后面都是直接算答案$return$的
• 时间复杂度$O(nlog(max-min)+nlogn)$
• 例题：LOJ#6029 2017雅礼集训

二、李超线段树
利用标记永久化维护区间内的优势线段的数据结构。
具体详情可移步这里

三、线段树维护单调子序列（注意不是必须连续）

• 考虑经典问题
• 给定一个序列，支持单点修改
• 询问给出$[l.r]$
• 求有多少个$i\in [l,r]$满足$i=l$或者$[l,i-1]$内的任何一个数都不大于第$i$个数
• 换句话说，求$[l,r]$内有多少个位置$i$是$[l,r]$内对应的以$i$结尾的前缀最大值
• 定义函数$query(u,x)$
• 表示当前线段树$u$节点对应区间内，有多少个数是KaTeX parse error: Undefined control sequence: \geqx at position 1: \̲g̲e̲q̲x̲并且是对应区间内的前缀最大值
• 线段树上维护区间最大值
• 如果$u$对应的区间最大值$<x$ 那么很明显 $quey(u,x)=0$
• 设$u$的左右子树分别为$lc$和$rc$
• 如果$lc$的最大值$<x$，那么$queey(u,x)=query(rc,x)$
• 否则的话，因为左子树肯定是在右子树的前缀里面，所以此时$query(u,x)=query(lc,x)+query(rc,ma{x}_{l}c)$
• 其中$ma{x}_{l}c$，表示$lc$节点对应区间内的最大值
• 注意到$query(rc,max)$仅和$u$有关的，或者参数不存在变量
• 所以在节点$u$上存储一个变量$r{i}_u=query(rc,ma{x}_{l}c)$即可
• 这样就能通过$O(nlogn)$的建树之后$O(logn)$查询了
• 修改时直接重新计算$max$和$ri$，$O(lo{g}^{2}n)$
• 询问时把区间$[l,r]$拆成线段树上的$m$（不超过$O(logn)$）个区间$[l_1,r_1],[l_2,r_2],...,[l_m,r_m]$
• 设对应的节点分别为$u_1,u_2,...,u_m$
• 并设$pre$，初始为$-INF$
• $i$从$1$到$m$，重复$m$次下面的操作
• (1)将$query(u_i,pre)$加进询问结果
• (2)如果$query(u_i,pre)\ne 0$，则$pre<-ma{x}_{u_i}$
• 复杂度$O(lo{g}^{2}n)$
• 总复杂度$O(nlo{g}^{2}n)$