动态规划精讲-优快云博客

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最长公共子序列

若给定序列X={x₁,x₂,…,x_m}，则另一序列Z={z₁,z₂,…,z_k}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i₁,i₂,…,i_k}使得对于所有j=1,2,…,k有：z_j=x_ij。

例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
给定2个序列X={x₁,x₂,…,x_m}和Y={y₁,y₂,…,y_n}，找出X和Y的最长公共子序列。

1.最长公共子序列的结构

设序列X={x₁,x₂,…,x_m}和Y={y₁,y₂,…,y_n}的最长公共子序列为Z={z₁,z₂,…,z_k} ，则

若x_m=y_n，则z_k=x_m=y_n，且z_k-1是x_m-1和yn-1的最长公共子序列。
若x_m≠y_n且z_k≠x_m，则Z是x_m-1和Y的最长公共子序列。
若x_m≠y_n且z_k≠y_n，则Z是X和y_n-1的最长公共子序列。

2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。
最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

2.子问题的递归结构

由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X和Y的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：

当x_m＝y_n时，找出X_m－1和Y_n－1的最长公共子序列，然后在其尾部加上x_m（＝y_n）即可得X和Y的一个最长公共子序列。
当x_m≠y_n时，必须解两个子问题，即找出X_m－1和Y的一个最长公共子序列及X和Y_n－1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者为X和Y的一个最长公共子序列。

用c[i][j]记录序列和的最长公共子序列的长度。

X_i={x₁,x₂,…,x_i}；Y_j={y₁,y₂,…,y_j}。
当i=0或j=0时，空序列是X_i和Y_j的最长公共子序列。故此时C[i][j]=0。
其它情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：

3.计算最优值

#define NUM 100
int c[NUM][NUM];
int b[NUM][NUM];
void LCSLength　(int m, int n, const char x[],char y[])
{  
　　int i,j;
　　//数组c的第0行、第0列置0
　　for (i = 1; i <= m; i++) c[i][0] = 0;
　　for (i = 1; i <= n; i++) c[0][i] = 0;
　　//根据递推公式构造数组c
　　for (i = 1; i <= m; i++)
　　for (j = 1; j <= n; j++)
　　{
	if (x[i]==y[j]) 
	　　{c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1; }		//↖
	else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) 
		{c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2; }		//↑
	else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; }			//←
　　}
}

由于在所考虑的子问题空间中，总共有θ(mn)个不同的子问题，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

4.构造最长公共子序列

void LCS(int i,int j,char x[])
{
	if (i ==0 || j==0) return;
	if (b[i][j]== 1){ LCS(i-1,j-1,x);　 cout<<x[i]; }
	else if (b[i][j]== 2) LCS(i-1,j,x);
	else LCS(i,j-1,x);
}

最大子段和

给定由n个整数（包含负整数）组成的序列a₁,a₂,…,a_n，求该序列子段和的最大值。

当所有整数均为负值时定义其最大子段和为0。

所求的最优值为：在这里插入图片描述
例如，当(a₁,a₂, ……a₇,a₈)=(1,-3, 7,8,-4,12, -10,6)时，最大子段和为：

b_j是1到j位置的最大子段和:

由b_j的定义易知，当b_j-1>0时b_j=b_j-1+a_j，否则bj=aj。
则计算b_j的动态规划递归式：
b_j=max{b_j-1+a_j，a_j}，1≤j≤n。

	1	2	3	4	5	6
a[i]	-2	11	-4	13	-5	-2
b(初值=0)	-2	11	7	20	15	13
sum	0	11	11	20	20	20

动态规划算法

#define NUM 1001
int a[NUM];
int MaxSum(int n)
{
	int sum=0; 
	int b=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (b>0) b+=a[i]; else b=a[i];
		if (b>sum) sum=b;
	}
	return sum;
}

计算时间为O(n)

动态规划算法的最优解

令besti，bestj为最大子段和sum的起始位置和结束位置；
在当前位置i，如果b[i-1] ≤0时，在取b[i]=a[i] 的同时，保存该位置i到变量begin中，显然：

当b(i-1)≤0时，begin＝i；
当b(i)≥sum时，besti＝begin，bestj＝i。

#define NUM 1001
int a[NUM];
int MaxSum(int n, int &besti, int &bestj)
{
　　int sum=0; 
　　int b=0;
　　int begin = 0;
　　for (int i=1;　i<=n;　i++)
　　{
	if (b>0)　 b+=a[i]; 
	else {b=a[i];　begin = i;}
 	if (b>sum) //得到新的最优值时，更新最优解
	{
	　　sum = b; 
	　　besti = begin; 
	　　bestj = i;
	}
　　}
　　return sum;
}

慕课

动态规划算法的迭代实现

迭代计算的关键:

1、每个子问题只计算一次
2、迭代过程

从最小的子问题算起
考虑计算顺序，以保证后面用到的值前面已经计算好
存储结构保存计算结果——备忘录
3、解的追踪
设计标记函数标记每步的决策
考虑根据标记函数追踪解的算法

动态规划算法的要素
•划分子问题，确定子问题边界，将问题求解转变成多步判断的过程.
•定义优化函数,以该函数极大(或极小)值作为依据,确定是否满足优化原则.
•列优化函数的递推方程和边界条件
•自底向上计算，设计备忘录 (表格)
•考虑是否需要设立标记函数
•用递推方程或备忘录估计时间复杂度