weixin_45652283的博客

如果。

看到这份代码有没有感到十分奇怪？它直接用了乘法操作的啊?但是它就是可以直接算出正确答案来。因为它很巧妙的运用了自动溢出这个操作，我们的代码中的。）保证了它们溢出后的差值基本不变，所以即使它会溢出也不会影响最终结果的！能保证数字的精确程度，然后再把这个数字进行计算。，所以我们急需寻找一种高效的方法来完成乘法运算并且不会爆。在我们进行乘法运算的时候，很多情况下会爆。，虽然这两个部分都是会溢出的，但（利用的是很简单的一个浮点数类型。，所以我们要求的就变成了。，对其进行二进制拆分，把。移位快速乘，思想是把。

欧拉定理的证明还是很简单的，我们只需要构造一个与。很多人都喜欢称之为欧拉反演。在学习欧拉定理之前，请先了解。意义下的一个简化剩余系。互质的数列，再进行操作。意义下的简化剩余系，则。中所有互质的数的和为。

若。

约数，又称之为因数。整数aaa除以整数bb!0b(b!=0)bb!0除得的商正好是整数而没有余数。我们就说aaa能被bbb整除，或bbb能整除aaa。aaa称为bbb的倍数，bbb称为aaa的约数。

欧拉定理的证明还是很简单的，我们只需要构造一个与。很多人都喜欢称之为欧拉反演。在学习欧拉定理之前，请先了解。意义下的一个简化剩余系。互质的数列，再进行操作。意义下的简化剩余系，则。中所有互质的数的和为。

欧拉函数（Euler’s totient function），求小于或者等于nnn的数中与nnnφn\varphi(n)φn。欧拉函数的通式φnn1−1p11−1p21−1pnφnn1−p1​1​1−p2​1​1−pn​1​，其中p1p2Pnp1​p2​Pn​都是nnn的质因数。φ11φ11。当nnn时质数的时候，显然有φnn−1φnn。

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。一组数的公约数，是指同时同时整除这组数中每一个数的数。最大公约数，是指所有公约数中最大的数。于是我们也就得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法。现在我们一张两个数，那么要如何求它们的最大公约数呢？所以我们要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可。我们先考虑两个数的情况。这个函数也揭示了一个概念，即。是它们两个的公约数，所以有。就是两者的最大公约数。时，我们可以证明得到。时，我们称之为互质。

在数乘运算中，我们类比向量来进行理解，在数乘向量运算中，只需要将向量中的每个元素乘上那个数就可以了，数乘矩阵也是如此。也就是说单位矩阵都是正方形的，这是因为只有正方形的矩阵能保证结果和前一个矩阵形状相同，单位矩阵的元素非。矩阵在计算机数学中有比较重要的内容，它可以优化很多推论，在这里我们将简单介绍一下。在实数运算中，减法为加法的逆运算，同样的，在矩阵运算中也是如此。了解了这么多，我们现在来看矩阵快速幂，矩阵快速幂就是将矩阵和。在矩阵的加法运算中，满足交换律和结合律，也就是。的矩阵，它的单位矩阵大小为。

由二维的分割问题分析可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。条封闭曲线最多可以把平面分成多少个区域（要使区域最多，则任何两条封闭曲线恰好相较于两点，且任何三条封闭曲线不相交与一点）了解了上面的直线分平面可知，由交点决定射线和线段的条数，进而决定新增的区域数。条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一个交点。中的直线切割平面的个数），这个平面将空间分割，则最多新增空间。个平面相交，且不能有公共的交线，即最多会有。则要使新增的平面区域最多，则第。

求解逆序对

扩展中国剩馀定理——求解模数不互质情况下的线性方程组{x≡a1(mod m1)   (1)x≡a2(mod m2)   (2)\begin{cases}x\equiv a_1(mod\:m_1)\:\:\:(1)\\x\equiv a_2(mod\:m_2)\:\:\:(2)\\\end{cases}{x≡a1​(modm1​)(1)x≡a2​(modm2​)(2)​将两式合并我们可以得到：m1×x1+a1=m2×x2+a2m_1\times x_1+a_1=m_2\times x_2+a_2m1​×x

中国剩余定理孙子定理，又称之为中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem,CRT）（Chinese Remainder Theorem, CRT）（ChineseRemainderTheorem,CRT）可以求解如下形式的一元线性同余方程组（其中n1,n2,…,nkn_1,n_2,\dots,n_kn1​,n2​,…,nk​两两互质）。{x≡a1(mod n1)x≡a2(mod n2)⋮x≡ak(mod nk)\begin{cases}x\equiv a_1(mod\:n_1)\\x\

介绍扩展欧几里得算法之前，我们先介绍贝祖定理，即对任意整数a，ba，ba，b，那么一定存在整数x，yx，yx，y，使得ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)。使用欧几里得算法（辗转相除法）我们可知：当到达递归边界时有b=0,a=gcd(a,b)b=0,a=gcd(a,b)b=0,a=gcd(a,b)，我们可以得到一个式子a⋅1+b⋅0=gcd(a,b),x=1,y=0a·1+b·0=gcd(a,b),x=1,y=0a⋅1+b⋅0=gcd(a,b),x=1,y=

逆元的定义对于正整数aaa和mmm，如果有a×x≡1(mod m)a\times x\equiv1(mod\:m)a×x≡1(modm)，那么就把这个同余方程中xxx的最小正整数解叫做aaa模mmm的逆元。根据前面的定义：对于模mmm，若对于剩余类[a][a][a]，存在剩余类[b][b][b]使得[a]×[b]=[1][a]\times[b]=[1][a]×[b]=[1]，则称[b][b][b]为[a][a][a]的逆元。记作a−1a^{-1}a−1。逆元的性质假设存在三个剩余类[a],[b],[

一般而言，在计算ana^nan时，我们会使用暴力的方法，逐个去乘，这样操作时间复杂度是O(N)O(N)O(N)。而是用快速幂算法时间复杂度可以降到O(logN)O(logN)O(logN)。递归思想在计算时​an​a^n​an，我们可以先计算a2a^2a2，然后在计算(a2)2(a^2)^2(a2)2，一直计算到nnn次幂。例如393^939，可以这样递归：39=3∗383^9=3*3^839=3∗38;38=34∗343^8=3^4*3^438=34∗34;34=32∗323^4=3^2*3

知识回顾：算术基本定理：对任意大于111的自然数，若不为素数，则一定能且只能写成一种有限个素数乘积的形式，即若n∈N,n>1n\in \N,n>1n∈N,n>1，则n=∏i=1mpici,pi<prime,ci∈Nn=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i},p_i<prime,c_i\in \Nn=∏i=1m​pici​​,pi​<prime,ci​∈N。素数素数又称之为质数，若一个数只能被1和本身整除，没有其余的约数，我们称这个数是素数，反之，这个数是合数；