本文详细介绍了统计学中的简单随机抽样（SRS），包括概念、表示和基本知识，重点讨论了总体均值、总量、比例的估计方法，以及样本量的确定。此外，还涵盖了估计的无偏性、方差估计和协方差的计算，为实际抽样调查提供了理论基础。
目录导引
这一个系列的笔记和整理希望可以帮助到正在学习抽样技术的同学。我会慢慢更新各个章节的内容。
Chap 2 简单随机抽样
2.1 概念，表示以及基本知识
抽样技术有限总体的方差定义与数理统计的不同！
σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( Y i − Y ˉ ) 2 S 2 = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( Y i − Y ˉ ) 2 \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(Y_i-\bar Y)^2 \\ S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(Y_i-\bar Y)^2 σ2=N1i=1∑N(Yi−Yˉ)2S2=N−11i=1∑N(Yi−Yˉ)2
SRSWOR下，关于 α i \alpha_i αi 的常识
E ( α i ) = π i = f = n N V ( α i ) = f ( 1 − f ) = n N ( 1 − n N ) E ( α i α j ) = 1 ∗ π i j + 0 = n ( n − 1 ) N ( N − 1 ) C o v ( α i , α j ) = E ( α i α j ) − E ( α i ) E ( α j ) = − f ( 1 − f ) N − 1 \begin{aligned} E(\alpha_i) &= \pi_i = f = \frac{n}{N}\\ V(\alpha_i) &= f(1-f) = \frac{n}{N} (1- \frac{n}{N})\\ E(\alpha_i \alpha_j) &= 1*\pi_{ij}+0 =\frac{n(n-1)}{N(N-1)} \\ Cov(\alpha_i, \alpha_j) &= E(\alpha_i \alpha_j) - E(\alpha_i)E(\alpha_j) \\ &= \frac{-f(1-f)}{N-1} \end{aligned} E(αi)V(αi)E(αiαj)Cov(αi,αj)=πi=f=Nn=f(1−f)=Nn(1−Nn)=1∗πij+0=N(N−1)n(n−1)=E(αiαj)−E(αi)E(αj)=N−1−f(1−f)
2.2 估计
2.2.1 总体均值的估计
总体均值的估计：样本均值 y ˉ = ∑ i = 1 n y i \bar y = \sum_{i = 1}^{n} y_i yˉ=∑i=1nyi
- 估计的无偏性
E ( y ˉ ) = ∑ i = 1 C N n y ˉ i P ( S i ) = ∑ i = 1 C N n y ˉ i 1 C N n = ∑ i = 1 C N n ( Y i 1 + Y i 2 + . . . + Y i n ) 1 n C N n = 1 n C N n ( ∑ i = 1 N C 1 1 C N − 1 n − 1 Y i ) = ( N − 1 ) ! ( n − 1 ) ! ( N − n ) ! n N ! n ! ( N − n ) ! ∑ i = 1 N Y i = 1 N ∑ i = 1 N Y i = Y ˉ \begin{aligned} E(\bar y) &= \sum_{i=1}^{C_N^n} \bar y_i P(S_i) \\ &= \sum_{i=1}^{C_N^n} \bar y_i \frac{1}{C_N^n} \\ &= \sum_{i=1}^{C_N^n} (Y_{i1} + Y_{i2} + ... + Y_{in}) \frac{1}{nC_N^n} \\ &= \frac{1}{nC_N^n} (\sum_{i=1}^{N}C_1^1C_{N-1}^{n-1}Y_i) \\ &= \frac{\frac{(N-1)!}{(n-1)!(N-n)!}}{\frac{n N!}{n!(N-n)!}}\sum_{i=1}^{N}Y_i \\ &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i \\ &= \bar Y \end{aligned} E(yˉ)=i=1∑CNnyˉiP(Si)=i=1∑CNny
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