背包问题详解

背包问题

0-1背包

每件物品只能装入一次
dp问题思路

(一）状态表示（i,j)//i为物品个数，j为背包最大容量
1.集合
(1)所有选法
(2)条件
i.只从前i个物品里选
ii.选择物品总容量≤j
2.属性
Max,(Min,数量)

(二）状态计算
1. 集合划分f(i,j)
1.不含第i件物品（在1~i-1件物品里选)—f(i-1,j)
2.当j≥v[i]时 ，可能含第i件物品（在第1~i件物品里选,必须包含i)—f(i-1,j-v[i])+w[i]
f(i,j)=max( f(i-1,j) , f(i-1,j-v[i])+w[i]) )
2. 两个原则：
1.不重复
2.不漏选
每件物品最多装入一次

二维

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;  
const int N=1010;
int v[N];
int w[N];
int dp[N][N];
int n,m;
int main(){
   
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
   
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
   
        for(int j=1;j<=m;j++){
   
          if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
          else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
   printf("%d",dp[n][m]);
    
    return 0;
}

转化成一维

当计算f(i,j)是只用到了i-1且≤j,所以可以用滚动数组算,可将二维转化为一维：
删掉了第一维：在前i个物品中取。
f[j]表示：拿了总体积不超过j的物品，最大总价值。

为何能转化为一维？
二维时的更新方式：f[i][j]=max(f[i - 1][j] ,f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
1.对于每次循环的下一组i，只会用到i-1来更新当前值，不会用到i-2及之前值。于是可以在这次更新的时候，将原来的更新掉，反正以后也用不到。
所以对于i的更新，只需用一个数组，直接覆盖就行了。
2.对于每次j的更新，只需用到之前i-1时的j或者j-v[i]，不会用到后面的值。
所以为了防止串着改，我们采取从后往前更新的方式，用原来i-1的数组来更新i。
（如果从前往后更新的话，前面的更新过之后，会接着更新后面的值，这样就不能保证是用原来i-1的数组来更新i的了）

如何转化为一维呢？
只用一个数组，每次都覆盖前面的数组。
1.如果当前位置的东西不拿的话，和前一位置的信息（原来i-1数组的这个位置上的值）是相同的，所以不用改变。
2.如果当前位置的东西拿了的话，需要和前一位置的信息（原来i-1数组的这个位置上值）取max。

所以，更新方式就为：
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
整个更新方式就相当于：
每次i++，就从后往前覆盖一遍f数组，看每个位置上的值是否更新。

一维

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;  
const int N=1010;
int v[N];
int w[N];
int dp[N];
int n,m;
int main(){
   
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
   
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
   
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
   
          dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i