动态规划问题记录

背包问题的分类：

01背包问题：每个物品最多只能用一次

• 问题描述：有一个容量是 $V$ 的背包和 $N$ 个物品，第 $i$ 个物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$，每个物品最多只能用一次（可以用一次，也可以不用），问怎样挑选物品才能使得在总体积不超过 $V$ 的前提下物品的总价值最大？

完全背包问题：每个物品可以用无限次

多重背包问题：每个物品最多有 $s_i$ 个

分组背包问题：物品有 $N$ 组，每一组里面有若干种，每一组里面最多只能选一种物品

动态规划问题的一般解决思路：（从集合的角度来理解 DP）

DP：（1）状态表示 $f(i,j)$：

• 弄清楚该状态表示的是哪一个集合：

  • $f(i,j)$ 表示的是这样的一个集合： 只从前 $i$ 个物品中选，且选出的总体积 $\le j$ 的所有选法；

• 弄清楚该状态表示的是集合的哪一种属性：最大值 or 最小值 or 数量

  • $f(i,j)$ 的值表示的是上述所有选法中所选出价值的最大值。

（2）状态计算：集合的划分（不重不漏）（不一定要满足“不重”，但必须要满足“不漏”）

• 01 背包问题中集合的划分：将 $f(i,j)$ 划分为这样两个子集：

  			   f(i, j)	
              不含i  |  含i
        f(i - 1, j) | f(i - 1, j - vi) + wi
        
  -----------------------------------------
  
  => f(i, j) = max{f(i - 1, j), f(i - 1, j - vi) + wi}
  

01 背包问题优化前代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
   
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++)
        {
   
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

01 背包优化成一维：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
   
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

完全背包问题：

状态表示 $f(i,j)$：

• 状态表示：

  • $f(i,j)$ 表示只考虑前 $i$ 个物品，且总体积不大于 $j$ 的所有选法；
  • $f(i,j)$ 的值表示价值的最大值。

• 状态计算（集合的划分）：按第 $i$ 个物品选多少个进行划分：第 $i$ 个物品选 0 个，1 个，2 个，…，k 个（注意不能无限选，因为背包体积有限）：
  f ( i , j ) = max ⁡ { f ( i − 1 , j ) , f ( i − 1 , j − k ∗ v [ i ] ) + k ∗ w [ i ] } , k = 1 , 2 , . . . , ⌊ V v [ i ] ⌋ f(i, j) = \max\left\{ f(i -1, j), f(i - 1, j - k * v[i]) + k * w[i] \right\}, k = 1, 2, ..., \lfloor \frac{V}{v[i]} \rfloor f(i,j)=max{ f(i−1,j),f(i−1,j−k∗v[i])+k∗w[i]},k=1,2,...,⌊v[i]V​⌋
  $f(i-1,j)$ 可以看作是 $k=0$ 的情形，故上述情形可以合并为：
  f ( i , j ) = max ⁡ { f ( i − 1 , j − k ∗ v [ i ] ) + k ∗ w [ i ] } , k = 0 , 1 , 2 , . . . , ⌊ V v [ i ] ⌋ f(i , j) = \max \left\{f(i - 1, j - k * v[i]) + k * w[i] \right\}, k = 0, 1, 2, ..., \lfloor \frac{V}{v[i]} \rfloor f(i,j)=max{ f(i−1,j−k∗v[i])+k∗w[