LeetCode 剑指 Offer 14- II 剪绳子 II

题目

解题

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剑指 Offer 14- I. 剪绳子 、343. 整数拆分	LeetCode343 整数拆分 & 剑指Offer 14- I 剪绳子
剑指 Offer 14- II. 剪绳子 II	LeetCode 剑指 Offer 14- II 剪绳子 II

这道题 n 的最大取值不再是 58 而是 1000，结果也要去模，因而不能再用动态规划的方法来求解：

1. 计算结果太大，需要取模。但动态规划的当前状态计算要基于之前的状态 => 状态转移方程：$dp[i]={\max }_{j=1}^{i-1}(max(j\times (i-j),j\times dp[i-j]))$。算法需要枚举多个状态选最大的结果，而取模后的数值大小不能反映真实的大小，所以很多测试用例得不到正确答案（部分语言用支持更大数字的数据类型也许能通过，比如 JS 的BigInt）;
2. 未优化动态规划的时间复杂度为 $O(n^2)$，优化后的是 $O(n)$，相比较而言，数学 / 贪心算法能够得到更低的时间复杂度。

动态规划 + BigInt 解答如下，因为 Math.max 函数不能处理 BigInt 类型，所以得自己用 reduce写一个 max 函数用来比较大小，总而言之不建议使用动态规划，但也是个解法，有比没有强：

// javascript
var cuttingRope = function(n) {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0n);
    for (let i = 2; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j < i; ++j) {
            dp[i] = max(dp[i], BigInt(j) * BigInt(i - j), BigInt(j) * dp[i - j]);
        }
    }
    return dp[n] % BigInt(1e9 + 7);
};

const max = (...args) => args.reduce((prev, curr) => prev > curr ? prev : curr);

解题思路参考：面试题14- II. 剪绳子 II（数学推导 / 贪心思想 + 快速幂求余，清晰图解）

解题一：数学/贪心算法 + 循环求余

// javascript
var cuttingRope = function(n) {
    const MOD = 1e9 + 7;
    if (n <= 3) return n - 1;
    const quotient = Math.floor(n / 3);
    const remainder = n % 3;
    let res = 1;
    // 计算 3^{quotient - 1} % MOD
    for (let i = 0; i < quotient - 1; ++i) {
        res = (res * 3) % MOD;
    }
    if (remainder === 0) return (3 * res) % MOD;        // 3^{quotient} % MOD  要拆一个 3 出来
    else if (remainder === 1) return (4 * res) % MOD;   // [(3^{quotient - 1}) * 4] % MOD
    else return (6 * res) % MOD;                        // [(3^{quotient}) * 2] % MOD  要拆一个 3 出来
};

解题二：数学/贪心算法 + 快速幂求余

本质是使用快速幂的思想求 x 的正整数次方：LeetCode50 Pow(x, n) & 剑指Offer 16 数值的整数次方，只是在更新 x 和 res 时多了取余的操作。

	a	res	x	x * x
初始值	69	1	3	9
第1次循环结束	34	3	9	81
第2 次循环结束	17	3	81	6561
第3次循环结束	8	243	6561	43046721
第4次循环结束	4	243	43046721	1,853,020,188,851,841（16位）
第5次循环结束	2	243	175880701	30,934,020,984,251,401（17位：下一次循环会开始丧失精度）
第6次循环结束	1	243	767713261	589,383,651,115,254,121（18位）
第7次循环结束	0	554321121	989568599	…

因为每次循环 x = (x * x) % (1e9 + 7)，x 虽然取余（小于 1e9 + 7），但是 x * x 的最大值可能值：$(1e9+6{)}^2$ 是 19 位数，JS 中能精准表示的最大整数是 Math.pow(2, 53)，十进制即 9,007,199,254,740,992（16位数），所以在计算 x * x 时有可能会失去精度，随后取余也必然不准确，因而要 使用 BigInt 类型。循环求余没有问题是因为 res * 3 的最大可能值 $(1e9+6)\ast 3$ 必然不会超过 Math.pow(2, 53)。

参考：讲一讲JS 能表示的最大数值及JS Number类型数字位数及IEEE754标准

// javascript
var cuttingRope = function(n) {
    const MOD = BigInt(1e9 + 7);
    if (n <= 3) return n - 1;
    const quotient = Math.floor(n / 3);
    const remainder = n % 3;
    // 计算 3^{quotient - 1} % MOD
    let res = 1n;
    let a = quotient - 1, x = 3n;
    while (a > 0) {
        if ((a & 1) === 1) {
            res = (res * x) % MOD;
        }
        x = (x * x) % MOD;
        a >>>= 1;
    }
    if (remainder === 0) return (3n * res) % MOD;        // 3^{quotient} % MOD  要拆一个 3 出来
    else if (remainder === 1) return (4n * res) % MOD;   // [(3^{quotient - 1}) * 4] % MOD
    else return (6n * res) % MOD;                        // [(3^{quotient}) * 2] % MOD  要拆一个 3 出来
};