CCF CSP 201609-4交通规划 题解 最短路延申 dijkstra/spfa

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方法1：dijkstra算法
思路：dijkstra算法求最短路，但是多了一个cost数组，cost[i] 表示修建到顶点i时，需要新修建的一条边。代码77行表示了最终加的边一定构成最短路，85行保证了在最短路的基础上修建更短的边，109行计算结果即可

可以忽略：
问题：
1.用优先队列，前n-1次更新，每次出队的是否一定是要选择的点？
否定。
证明：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstring>

#include<queue> 

#define N 10005
#define M 200001 //注意 是无向边，所以边的最大值要扩大二倍 

int n,m;
int ans;

struct E{
	int v;
	int w;

}e[M];


struct Node{  
	int u;
	int len;
	
	Node(int uu,int ww):u(uu),len(ww){
	}
	
	bool operator< (const Node & nn) const{	//优先队列默认大顶堆，故需重载小于号 
		return len>nn.len;
	}
	
};

priority_queue <Node> qq;

int h[N];
int ne[M];
int idx;

int dis[N];   
int cos[N]; 
int vis[N]; //表面该点是否已经被更新 

void add(int u,int v,int w)
{
	e[idx].v=v;
	e[idx].w=w;
	ne[idx]=h[u];
	h[u]=idx++;
}

void dj()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	
	dis[1]=0;
//	vis[1]=1; 
	qq.push(Node(1,0));
	
	while(!qq.empty())
	{
		
			Node tt=qq.top();
			qq.pop();
			
			int u=tt.u;
			
			if(!vis[u])  //也可以不用vis数组
			{
				vis[u]=1;
			}else continue;
			
			for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
			{
				int v=e[i].v;
				int w=e[i].w;
				
				if(dis[v]>dis[u]+w) 
				{
			
					dis[v]=dis[u]+w;
					
					cos[v]=w;
					
					qq.push(Node(v,dis[v]));
				}else if(dis[v]==dis[u]+w){   
					cos[v]=min(cos[v],w);
				}
				
			}
	}
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	
	memset(h,-1,sizeof(h));
	
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	
	dj();

	for(int i=2;i<=n;i++)
		ans+=cos[i];

	cout<<ans;

	return  0; 
}

方法2：spfa
思路：先用spfa求出dis数组，也可用dijstra。然后每个顶点v，对于其所有邻接点u，如果满足dis[v]=dis[u]+w,则w可以列为备选修建边，从备选修建边选择最小的边即为修建边，见89开始的代码

可以忽略：
问题：为什么所有顶点选择最小修建边一定可以连通？
归纳假设法，

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstring>
#include<queue>

#define N 10005
#define M 200005 

int h[N];
int idx;
int ne[M];
int n,m;
int ans;

int dis[N];
queue<int> qq;
int vis[N];


struct Eage{
	int v;
	int w;
	
	Eage():v(),w(){}
	Eage(int vv,int ww):v(vv),w(ww){}
}e[M];


void add(int u,int v,int w)
{
	e[idx].v=v;
	e[idx].w=w;
	ne[idx]=h[u];
	h[u]=idx++;
}

void spfa()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	
	dis[1]=0;
	vis[1]=1;
	qq.push(1);  //什么时候push 什么时候Push_back？
	
	while(!qq.empty()) 
	{
		int tt=qq.front();
		qq.pop();
		vis[tt]=0;
		
		for(int i=h[tt];~i;i=ne[i])
		{
			int v=e[i].v;
			int w=e[i].w;
			
			if(dis[v]>dis[tt]+w)
			{
				dis[v]=dis[tt]+w;
				
				if(!vis[v])
				{
					qq.push(v);
					vis[v]=1;
				}
			}
		}
	}
	
	

}

int main()
{
	memset(h,-1,sizeof(h));
	
	cin>>n>>m;
	
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	spfa();
	
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		int v=k;
		int minn=1010;
		for(int i=h[k];~i;i=ne[i])
		{
			int u=e[i].v;
			int w=e[i].w;
			
			if(dis[v]==dis[u]+w)
			{
				minn=min(minn,w);
			}
		}
		
		if(minn!=1010)
			ans+=minn;
	}
	
	cout<<ans;
	return 0;
}