背包问题

01背包
特点：
给定几种物品，每种物品有且只有一个，并且有价值和体积两个属性。
考虑：
对每个物品只需要考虑放与不放两种情况。
1.不放，不需要处理。
2.放，由于不清楚之前放入的物品占据了多大的空间，所以需要枚举，将这个物品放入背包后可能占据背包空间的所以情况。
背包容量v，第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i];
状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
f[i-1][v]指的是不放这件物品;
而f[i-1][v-c[i]]+w[i]]指的是将第i件放入背包之后的总价值。

/*降维度
  第二层采用逆循环
  */
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=v;j>=c[i];j--)
    {
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]))
    }
}

完全背包问题
特点：
给定几种物品，每种物品有无限多个，并且有价值和体积两个属性。
状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

/*降维度
  第二层采用正循环
  */
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=c[i];j<=v;j++)
    {
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]))
    }
}

多重背包问题
特点：
给定几种物品，每种物品为有限多个，并且有价值和体积两个属性。
考虑：由于每种物品为有限多个，所以可以考虑分解为01背包问题。
基于二进制的思想，可以将第i种物品分解为若干件物品，可以有(c[i],w[i])+（c[i]*2,w[i]*2）+(c[i]*4,w[i]*4)等等；
例如11可以拆成1,2，4,4（最后的4是由11-（1+2+4）得来的）；有这几个数随意组合可以合成1-11之间的任何数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[100],w[100];//每种物品的体积，价值
int f[100];
int main()
{
    int n,m,k;//有n种物品,背包的总体积
    int cnt=0;//拆分后物品总数
    int x,y,c;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x>>y>>k;//每种物品的体积，价值，个数
        c=1;
        while(k-c>0)
        {
            k-=c;
            v[++cnt]=x*c;
            w[cnt]=y*c;
            c*=2;
        }
        v[++cnt]=x*k;//补充最后的差值
        v[cnt]=y*k;
    }
    /*转化为01背包问题*/
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}