RoPE复数简介

1. 复数的几何表示

复数 $z=a+bi$ （其中 a 和 b 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$）可以在复平面上被表示为一个点或从原点出发的一个向量。这个向量的横坐标是该复数的实部 $a$，纵坐标是其虚部 $b$。

2. 向量的复数表示

对于一个二维向量 $q=[q_x,q_y]$，我们可以直接将其横坐标 $q_x$ 视为复数的实部，纵坐标 $q_y$ 视为其虚部，从而得到一个对应的复数 $q=q_x+i\ast q_y$。这意味着每一个二维向量都可以唯一地映射到一个复数上，反之亦然。

3. 利用复数进行向量运算

通过将向量表示为复数，我们可以使用复数的代数规则来进行一些常见的向量运算，例如旋转和缩放。例如，在复平面上，乘以一个单位模长的复数（即 $e^{i\theta }=cos\theta +i\ast sin\theta$）相当于对向量进行角度为 θ 的旋转，而不会改变其长度。这是因为：
$$q^{\prime }=(q_x+i{q}_y)(cos\theta +i\ast sin\theta )$$

展开后会给出一个新的复数，其实部和虚部分别代表了原始向量经旋转后的新的x和y分量。
$$(q_{x}cos\theta -q_{y}sin\theta )+i(q_{x}sin\theta +q_{y}cos\theta )$$

4. 复数与旋转

如果你将复数看作是一个旋转操作，它是通过乘以某个特定复数来完成的。

比如说，将一个向量逆时针旋转90度，就相当于将其对应的复数乘以 i，因为 i 代表了逆时针旋转90度的旋转操作。类似地，旋转180度相当于乘以 -1，旋转270度相当于乘以 -i。

在平面内，如果我们将复数 z 视为向量，那么"乘以一个单位复数"就对应着围绕原点的旋转。

• 单位复数：指模长为 1 的复数，可写成 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$。
• 旋转原理：将一个复数 z 乘以 $e^{i\theta }$，会使其对应的向量逆时针旋转 θ 弧度（若 θ>0）。

$$z\prime =z\cdot e^{i\theta }=z\cdot (cos\theta +isin\theta )$$

• 同时旋转与缩放：如果将 z 乘以复数 $r{e}^{i\theta }$ （其中 r≠1），则会在旋转 θ 的同时，将向量的长度缩放为原来的 r 倍。

5. 极坐标表示

为了更直观地刻画复数的模（长度）和辐角（方向），通常采用极坐标形式来表示复数。

1. 极坐标形式

• 任何非零复数 z 都可表示为
  $$z=r(cos\phi +isin\phi )$$
  其中 r = |z| 为复数的模（即向量长度），φ = arg(z) 为复数的辐角（即向量与正 x 轴之间的夹角）。

  • 当 r = 1 时，复数落在单位圆上，即成为一个单位复数。

2. 乘法与除法

• 乘法：若有两个复数
  $$z_1=r_1(cos{\phi }_1+isin{\phi }_1),z_2=r_2(cos{\phi }_2+isin{\phi }_2)，$$

则
$$z_1\cdot z_2=r_1{r}_2[cos({\phi }_1+{\phi }_2)+isin({\phi }_1+{\phi }_2)]。$$

这表明在乘法运算中，模相乘、辐角相加。

• 除法：
  $$\frac{z_1}{z_2}=(r_1/r_2)[cos({\phi }_1-{\phi }_2)+isin({\phi }_1-{\phi }_2)]。$$

表示在除法运算中，模相除、辐角相减。

3. 优点

• 在处理旋转、缩放以及乘除运算时，极坐标表示极其方便。
• 后续涉及复数幂、复数开方等操作时，也往往需要用到极坐标形式来简化运算。