矩阵分解技术

三角分解

Frobenius矩阵：

形如，逆矩阵即加负号

也算

LDU分解：单位下三角，对角阵，单位上三角

Doolittle分解：单位下三角，上三角

Crout分解：下三角，单位上三角

LU分解：下三角，上三角

计算：Gauss消元打洞，先求出Doolittle分解，再化为其他

L矩阵记录打洞系数：与主元之比

U矩阵为打洞剩余物

 性质：

n-1阶顺序主子式!=0只用到倍加的Gauss消元唯一LDU分解唯一Doolittle/Crout分解

可逆矩阵可LU分解n-1阶顺序主子式!=0(顺序主子式均不为0)上链

可逆矩阵A，则必存在置换阵P使PA的n个顺序主子式非0，可进行PA=LU

Cholesky分解：实对称正定阵A=LL' ，要求L对角线元素为正，此时分解唯一

舒尔补：

A11的舒尔补：

A22的舒尔补：

性质：

可导出矩阵性质

QR分解

Givens矩阵：

形如，c，s平方和为1

givens矩阵行列式为1

多个givens矩阵相乘作用  可以使任何向量旋转至任何方向

givens矩阵Tij将向量下位元素化入上位元素：c取终位占比，s取始位占比

Householder矩阵：（反射矩阵）

   u位反射面单位法向量

H的行列式为-1

一个householder矩阵作用  可以使任何向量旋转至任何方向

旋转与反射：旋转=2次反射，反射面间夹角为旋转角度一半

可逆矩阵的QR分解：除去对角元素绝对值为1的对角矩阵因子外，分解是唯一的

1.Gram Schmidt正交化：对列向量集进行

2.Givens变换：把不停打洞改成不停下翻上

3.Houholder变换：只需一次反射就可以化好一列

满秩分解

Hermite标准型：行最简型

拟Hermite标准型：后m-r行均为0，前r行中可提取出r阶单位阵，不在意列顺序

上述标准型均通过初等行变换直接得到

满秩分解：Amn=Fmr Grn  分解成列满秩和行满秩矩阵，且秩均为矩阵A的秩

计算方法：化为行最简型，行最简型前r行即G，A中的对应主元列即F

（若化为拟Hermite标准型也可以，但要注意F中A的列顺序需和G中抽取单位阵顺序一致）

奇异值分解

奇异值：奇异值个数为矩阵列数，非0奇异值个数=rank，0奇异值个数=零空间维度

U=[  U1  |  U2  ] mr和m(m-r)

V=[  V1  |  V2  ] nr和n(n-r)

U1:COL(A)   /   AA'的非0特征向量空间

U2:A的左零空间   /   AA'的0特征向量空间                                无序

V1:ROW(A)   /    A' A的非0特征向量空间

V2:N(A)   /   A'A的0特征向量空间                                                无序

算法：

1.对A'A特征分解：V1, V2,  ∑秒出

2.利用得到U1         i=1,2....,r

3.将U扩成标准正交基

注意V1, U1, ∑顺序一一对应，奇异值顺序从大到小排，至于U2和V2则随便排列

A=

为特征值同为的特征向量,  A是相同特征值的特征子空间之间的映射

A=U∑VT=U1∑V1T（从这个角度来看是唯一的）mr, rr, rn

从mr, rr, rn抽取前k列前k行就是原矩阵A的低秩近似