差分约束总结

最新推荐文章于 2023-07-08 13:40:23 发布

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本文介绍了一种利用最短路径算法解决不等式组问题的方法，包括求解可行解和求最大最小值。通过将不等式转化为图中的边，使用SPFA算法寻找最短路径，进而判断是否存在负环，从而确定不等式组是否有解。适用于求解形如xi<=xj+ck的不等式组。

用途（不等式满足： xi<=xj+ck）
1.求一组不等式的可行解（最短路最长路都可以）
源点需要满足条件：一定要可以到所有边
【1】先将每个不等式转化成一条从xj走到xi,长度为ck的一条边
【2】找一个超级源点，使该源点一定可以遍历到所有边
【3】从源点求一遍单源最短路
如果图存在负环，则原不等式无解
如果没有负环，dist[i]就是xi的可行解

2.求一组不等式最大最小值
如果求最小值，应该求最长路
如果求最大值，应该求最短路
问题1：如何转化xi<=c,其中c是一个常数
方法：建立一个超级源点0，然后建立0-xi,长度是c的边

例题1：https://vjudge.net/problem/POJ-3169

刚开始忽略了题目的一个条件：奶牛是按照编号顺序排列的
明白了这个条件题目就可以想清楚了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1010,M=20010;
int head[N],ver[M],Next[M],cnt[N];ll edge[M],d[N];
int n,ml,md,tot;
queue<int> q;
bool v[N];
void add(int x,int y,ll z)
{
	ver[++tot]=y,edge[tot]=z,Next[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
int spfa()
{
	for(int i=1;i<N;i++)
	{
		d[i]=1e18;
	}
	memset(v,0,sizeof v);
	d[1]=0;v[1]=1;
	q.push(1);
	while(q.size())
	{
		int x=q.front();q.pop();
		v[x]=0;
		for(int i=head[x];i!=-1;i=Next[i])
		{
			int y=ver[i];ll z=edge[i];
			if(d[y]>d[x]+z)
			{
				d[y]=d[x]+z;
				cnt[y]=cnt[x]+1;
				if(cnt[y]>=n) return 1;
				if(!v[y])
				{
					q.push(y);
					v[y]=1;
				}
			}
		}
	}
	if(d[n]>=1e18/2) return 2;
	return 3;
}
int main()
{
	scanf("%d%lld%lld",&n,&ml,&md);
	memset(head,-1,sizeof head);
	for(int i=1;i<=ml;i++)
	{
		int x,y;ll z;
		scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);
	}
	for(int i=1;i<=md;i++)
	{
		int x,y;ll z;
		scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
		add(y,x,-z);
	}
	int flag=spfa();
	if(flag==1) printf("-1\n");
	else if(flag==2) printf("-2\n");
	else printf("%lld\n",d[n]); 
 }