Acwing1134. 最短路计数

思路

• 要求一个图的最短路径数，首先如果我们用dp的思想cnt[i]表示这个点的最短路径数，一旦这个点被x更新了，那么cnt[i]=cnt[t],如果两个路径距离相等就cnt[i]+=cnt[t]，但是这样做要有个前提，必须顺序是拓扑的，因为cnt更新时候要保证dist[t]就是t这个点的最短路径，这题保证了没有权为0的环，所以这里最短路径树就是一个拓扑图，就可以直接用bfs或者dijkstra来做，因为bfs和dijkstra的更新顺序就是拓扑的，但是spfa不行，因为spfa更新的时候不能保证那个值就是最小值，而bfs入队一次出队一次，dijkstra只出队一次，这两个都可以满足拓扑的要求，所以这题可以直接用用这两个求一边最短路，中间更新cnt即可
• spfa也可一个求，而且有优点，如果一个图里面有负权，那么bfs和dijkstra就不能用了，但是spfa可以，步骤就是先求一边最短路，然后枚举一个点的每一条边，如果满足dist[i]=dist[t]+w[i]的话，就证明t点过来的路径就是i点的最小路径中的一个，所以cnt[i]+=cnt[t]即可

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 400010, mod = 100003;
int h[N];int ne[M];int e[M];int idx;
int dist[N];int cnt[N];
void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
bool st[N];
int n,m;
void bfs(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    queue<int> q;
    dist[1]=0;
    q.push(1);
    cnt[1]=1;
    while(q.size()){
        int t=q.front();
        q.pop();
        if(st[t])continue;
        st[t]=true;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[t]+1<dist[j]){
                dist[j]=dist[t]+1;
                cnt[j]=cnt[t];
                q.push(j);
            }
            else if(dist[t]+1==dist[j]){
                cnt[j]=(cnt[j]+cnt[t])%mod;
            }
        }
    }
}
int main(){
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin >> n >> m;
    while(m--){
        int a;int b;
        cin >> a >> b;
        add(a,b,1);
        add(b,a,1);
    }
    bfs();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout << cnt[i] << "\n";
    }
}