本文探讨了时间序列中的异常，包括innovational outlier (IO), additive outlier (AO), level shift (LS)和temporary change (TC)四种类型，解释了它们的定义和影响。AO表现为单次观测值的突然变化，LS导致后续所有观测值水平转移，TC的影响随时间减小。IO则影响相邻观测点。文章引用了Chen和Liu的两篇研究作为参考。"
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考虑一个 ARIMA 过程生成的时间序列
Y t = θ ( B ) α ( B ) ϕ ( B ) a t , t = 1 , 2 , ⋯ , n Y_t = \frac{\theta(B)}{\alpha(B)\phi(B)}a_t, \qquad t = 1, 2, \cdots, n Yt=α(B)ϕ(B)θ(B)at,t=1,2,⋯,n
其中 θ ( B ) \theta(B) θ(B)和 ϕ ( B ) \phi(B) ϕ(B)的所有根都在单位圆外， α ( B ) \alpha(B) α(B)的所有根都在单位圆上。
在这个序列中引入一个异常，得到
Y t ∗ = Y t + ω A ( B ) G ( B ) H ( B ) I t ( τ ) Y_t^* = Y_t + \omega\frac{A(B)}{G(B)H(B)}I_t(\tau) Yt∗=Yt+ωG(B)H(B)A(B)It(τ)
其中
I t ( τ ) = { 1 , t = τ , 0 , o t h e r w i s e I_t(\tau) = \begin{cases} 1, & t= \tau,\\ 0, & otherwise \end{cases} It
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