1 01背包
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
public class beibao01 {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = sc.nextInt();
int V = sc.nextInt();
int[] v = new int[N];
int[] w = new int[N];
for(int i = 0; i < N; i ++){
v[i] = sc.nextInt();
w[i] = sc.nextInt();
}
System.out.println(maxValue(N, V ,v, w));
}
private static int maxValue(int N , int V , int[] v, int[] w){
int[] m = new int[V+1];
for(int i = 0; i < N; i ++){
for(int j = V; j >= v[i]; j-- ){
m[j] = Math.max(m[j],m[j - v[i]] + w[i]);
}
}
return m[V];
}
}
2 完全背包
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
public int wanquanbeibao(int N , int V , int[] v, int[] w){
int[] dp=new int[V+1];
for(int i=0;i<N;i++){
// 代码与01背包的区别，从小到大遍历
for(int j=0;j<=V;j++){
if(j>=v[i]){
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
}
return dp[V];
}
3 多重背包
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
public int maxValue(int N , int V , int[] v, int[] w,int[] s){
int[] f = new int[V+1];
for(int i = 0 ; i < N; i++){
for(int j = 0; j <= V; j++){
for(int k = 1 ;k < s[i];k++){
if(j>=k*v[i]){
f[j] = Math.max(f[j],f[j - k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
return f[V] ;
}
4 混合背包
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
物品一共有三类：
第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int N=sc.nextInt();
int V=sc.nextInt();
List<Thing> things=new ArrayList<>();
for(int i=0;i<N;i++){
int v=sc.nextInt();
int w=sc.nextInt();
int s=sc.nextInt();
if(s<0){
things.add(new Thing(-1,v,w));
}else if(s==0){
things.add(new Thing(0,v,w));
// 多重背包转化为01背包
}else{
for(int k=1;k<=s;k=k*2){
s=s-k;
things.add(new Thing(-1,k*v,k*w));
}
if(s>0){
things.add(new Thing(-1,s*v,s*w));
}
}
}
int[] dp=new int[V+1];
for(int i=1;i<=things.size();i++){
int kind=things.get(i-1).kind;
if(kind<0){
// 01背包，体积从大到小遍历
for(int j=V;j>=things.get(i-1).v;j--){
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-things.get(i-1).v]+things.get(i-1).w);
}
}else{
// 完全背包，体积从小到大遍历
for(int j=things.get(i-1).v;j<=V;j++){
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-things.get(i-1).v]+things.get(i-1).w);
}
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
class Thing{
int kind;
int v;
int w;
public Thing(int kind,int v,int w){
this.kind=kind;
this.v=v;
this.w=w;
}
}
5 二维费用背包
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。
每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值
import java.util.*;
class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = sc.nextInt();
int V = sc.nextInt();
int M = sc.nextInt();
int[][] dp = new int[V+1][M+1];
int[] v = new int[N];
int[] m = new int[N];
int[] w = new int[N];
for(int i = 0; i < N; i ++){
v[i] = sc.nextInt();
m[i] = sc.nextInt();
w[i] = sc.nextInt();
}
for(int i = 0;i < N; i++){
for(int j = V; j >= v[i]; j--){
for(int k = M; k >= m[i]; k--){
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k],dp[j - v[i]][k - m[i]] + w[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[V][M]);
}
}
6 分组背包
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int N=sc.nextInt();
int V=sc.nextInt();
int[] dp=new int[V+1];
for(int i=0;i<N;i++){
int S=sc.nextInt();
int[] v=new int[S];
int[] w=new int[S];
for(int t=0;t<S;t++){
v[t]=sc.nextInt();
w[t]=sc.nextInt();
}
// 每组之间是01背包问题
for(int j=V;j>=0;j--){
// 组内遍历
for(int k=0;k<S;k++){
if(j>=v[k]){
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-v[k]]+w[k]);
}
}
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
7 背包问题求方案数
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模10000007的结果
import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int mod=1000000007;
int N=sc.nextInt();
int V=sc.nextInt();
int[] v=new int[N];
int[] w=new int[N];
for(int i=0;i<N;i++){
v[i]=sc.nextInt();
w[i]=sc.nextInt();
}
int[] dp=new int[V+1];
int[] count=new int[V+1];
for(int i=0;i<=V;i++){
count[i]=1;
}
for(int i=0;i<N;i++){
for(int j=V;j>=v[i];j--){
int value=dp[j-v[i]]+w[i];
if(value>dp[j]){
dp[j]=value;
count[j]=count[j-v[i]];
}else if(value==dp[j]){
// 有两条路径
count[j]=(count[j-v[i]]+count[j])%mod;
}
}
}
System.out.println(count[V]);
}
}
8 求最优的具体方案
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] args) {
// N个物品
int N;
// 背包体积
int V;
// 每个物品的体积
int[] v;
// 每一个物品的价值
int[] w;
//代表物品的输入index
int[] index;
// start input
Scanner input = new Scanner(System.in);
N = input.nextInt();
V = input.nextInt();
v = new int[N + 1];
w = new int[N + 1];
index = new int[N + 1];
int index_temp = 0;
for (int i = N; i >= 1; i--) {
v[i] = input.nextInt();
w[i] = input.nextInt();
index[i] = ++index_temp;
}
input.close();
// start solution
Main solution = new Main();
List<Integer> ans = solution.solution_scheme(N,V,v,w, index);
for(int i = 0; i < ans.size() -1; i++){
System.out.print(ans.get(i));
System.out.print(" ");
}
System.out.print(ans.get(ans.size() -1));
}
public List<Integer> solution_scheme(int N, int V, int[] v, int[] w, int[] index){
// 首先标准的01问题解决方案，这里用原始方法求解，即dp矩阵是二维的
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
for(int i = 1; i <= N; i++){
for(int j = 0; j <= V; j++){
if(j >= v[i]){
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
}else {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
ArrayList<Integer> ans = new ArrayList<>();
// 这里开始反推方案
int volumn_left = V;
for(int i = N; i >= 1; i--){
if(volumn_left >= v[i] && dp[i][volumn_left] == (dp[i-1][volumn_left-v[i]] + w[i])){
// 说明选择了当前物品
ans.add(Integer.valueOf(index[i]));
// 背包减去当前物品的体积
volumn_left -= v[i];
}
if(volumn_left <= 0){
break;
}
}
return ans;
}
}
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