PAT练习题(甲级) 1007 Maximum Subsequence Sum (25分)(简要理解动态规划)(Java实现)

题干

Given a sequence of K integers { N₁, N₂, …, N_K}. A continuous subsequence is defined to be { N_​i, N_i+1, …, N_j} where 1≤i≤j≤K. The Maximum Subsequence is the continuous subsequence which has the largest sum of its elements. For example, given sequence { -2, 11, -4, 13, -5, -2 }, its maximum subsequence is { 11, -4, 13 } with the largest sum being 20.

Now you are supposed to find the largest sum, together with the first and the last numbers of the maximum subsequence.

Input Specification:
Each input file contains one test case. Each case occupies two lines. The first line contains a positive integer K (≤10000). The second line contains K numbers, separated by a space.

Output Specification:
For each test case, output in one line the largest sum, together with the first and the last numbers of the maximum subsequence. The numbers must be separated by one space, but there must be no extra space at the end of a line. In case that the maximum subsequence is not unique, output the one with the smallest indices i and j (as shown by the sample case). If all the K numbers are negative, then its maximum sum is defined to be 0, and you are supposed to output the first and the last numbers of the whole sequence.

Sample Input:
10
-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21

Sample Output:
10 1 4

题意

• 第一行是总共有多少个元素，也就是第二行的数组的长度，记为K。
• 第二行是数组元素。
• 输出第一项是子序列的最大和，第二项是子序列的左端，第三项是子序列的右端。

思路分析

• 因为是求子序列相关问题，所以动态规划可能会比较合适。
• 有两种情况：
  • 第一种：只有一个元素是正数，那么它就是我们需要的结果。
  • 第二种：正常求解，所求子序列中含有多个元素。
• 将所求记为dp[i]，那么状态转移方程为dp[ i ] = max{list[ i ] , dp[ i - 1 ] + list[ i ]}，边界为dp[ 0 ] = list[ 0 ]。
• 在代码实现上就很简单了，很多同学在平常都使用过，可能没有仔细研究过。
• C和C++的实现也与Java的相同，只不过语句变了，但是C和C++在时间上有着巨大的优势。

理解动态规划

• 动态规划常见的有三类问题，我在刷题的过程中也有遇到过。
• 在这里稍微根据网上的文档和自己的理解说一说。

动态规划思想（这类问题的特点）

• 重叠子问题：例如一个公司中，经理想了解公司各个部门中业务最出色的员工，那么部门的负责人也要了解部门最出色的员工，这个时候会发生问题重叠，虽然是一个问题，但需要两个人进行了解。一个子问题的答案会在后续的求解中多次使用。
• 最优子结构：这道题就可以理解为最优问题，最优问题就相当于是选取最优子结构。
• 无后效性：已求出的子问题的答案不会因为后续问题的求解发生改变。

三种模型