【散布矩阵】PCA 协方差矩阵

散布矩阵（scatter matrix）是用于描述多元数据集合中各个变量之间关系的一种矩阵。在统计学和机器学习中，散布矩阵通常用于分析数据的方差、协方差和相关性等特征。

给定一个包含 $n$ 个观测值的多元数据集合，其中每个观测值包含 $d$ 个变量（或特征），则该多元数据集合的散布矩阵是一个 $d\times d$ 的矩阵，其中每个元素表示相应变量之间的协方差。设 $X$ 是一个 $n\times d$ 的数据矩阵，其中每一行表示一个观测值，每一列表示一个变量，则该多元数据集合的散布矩阵 $S$ 可以表示为：

$$S=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(x_i-\bar{x}{)}^T$$

其中，$\bar{x}$ 是数据矩阵 $X$ 每一列的均值向量，$x_i$ 是数据矩阵 $X$ 的第 $i$ 行向量，${}^T$ 表示向量的转置操作。

散布矩阵可以用于计算多元数据集合的协方差矩阵和相关矩阵等统计量，进而进行数据分析和机器学习模型的建立和评估。

散布矩阵的计算

给定一个包含 $n$ 个二维坐标的数据集合，其中每个坐标记为 $(x_i,y_i)$，则该数据集合的散布矩阵可以按照如下步骤计算：

计算每个坐标的均值向量 $\bar{x}=\left(\begin{array}{c}{\bar{x}}_1{\bar{x}}_2\end{array}\right)$，其中 ${\bar{x}}_1$ 和 ${\bar{x}}_2$ 分别表示所有 $x$ 坐标和所有 $y$ 坐标的平均值。

构造 $2\times 2$ 的零矩阵 $S=\left(\begin{array}{ccc}0& 00& 0\end{array}\right)$，作为散布矩阵的初始值。

对于每个坐标 $(x_i,y$