[HIT-FLAA]哈工大2020春形式语言与自动机复习笔记 (1)

本系列文章

• 有穷自动机
• 正则表达式
• 上下文无关文法和下推自动机
• 图灵机

1. 确定的有穷自动机 (DFA)

1. 形式化定义

确定的有穷自动机 (Deterministic Finite Automata)：DFA是一个五元组，如：$M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$ ，其中，

• $Q$ 是有限的状态集，包含DFA中所有的状态；
• $\Sigma$ 是有限的输入字符集，也就是DFA的字母表；
• $q_0$ 是初始状态，并且 $q_0\in Q$；
• $F$ 是终解状态的集合，并且 $F\in Q$；
• $\delta$ 是状态转移函数，它是一个映射：$Q\times \Sigma \to Q$

$\delta$ 要对 $Q$ 中所有的状态和 $\Sigma$ 中所有的状态的组合都要有定义，也就是笛卡尔积是一个单射

例：以自动门为例，使用 $0$ 表示关门信号，$1$ 表示开门信号，$p$ 表示关门状态，$q$ 表示开门状态，则DFA如下：

• 状态集： { p ,    q } \{p,\; q\} { p,q}

• 输入字符集： { 0 ,    1 } \{0,\;1\} { 0,1}

• 初始状态：$p$

• 终解状态：$p$

• 状态转移函数：$\delta$
  $$\begin{gathered} \delta (p,0)=p \\ \delta (p,1)=q \\ \delta (q,1)=q \\ \delta (q,0)=p \end{gathered}$$
  故该DFA的定义为： { { p ,    q } ,    { 0 ,    1 } ,    δ ,      p ,    { p } } \{ \{p,\; q\},\;\{0,\;1\},\;\delta,\;\;p,\;\{p\}\} { { p,q},{ 0,1},δ,p,{ p}}

用图表示： 单线圈表示普通状态，双线圈表示终解状态，弧表示状态转移函数

用表格表示： 用 $\to$ 标识出初始状态，用 $\ast$ 标识出终解状态

	0	1
$\to \ast p$	$p$	$q$
$q$	$p$	$q$

DFA的目的是区分字符串，于是，按照如上例子构造的DFA就把字符串分成了两类：

L 1 = { w ∈ { 0 , 1 } ∗    ∣    w    e n d    w i t h    0 } ∪ {   ε   } L 2 = { w ∈ { 0 , 1 } ∗    ∣    w    e n d    w i t h    1 } L_1=\{ w\in\{0,1\}^* \;|\; w \; end \; with \; 0 \}\cup \{\,\varepsilon\,\} \\ L_2=\{ w\in\{0,1\}^* \;|\; w \; end \; with \; 1 \} L1​={ w∈{ 0,1}∗∣wendwith0}∪{ ε}L2​={ w∈{ 0,1}∗∣wendwith1}

而 $L_1$ 就是该DFA所接受的字符串集合，就能够判断任意的字符串 w w