【2022年10.24程序员节征文】一道关于1024的数学题

今年非常忙，没时间写文章，那就找一道和1024有关的非常简单的高中数学题作为文章的内容吧！

【填空题】若$(\sqrt{x}-\frac{3}{x}{)}^n$的展开式的各项系数绝对值之和为$1024$，则展开式中$x$项的系数为__________.
考点：二项式系数的性质
专题：计算题；二项式定理
分析：根据$(\sqrt{x}-\frac{3}{x}{)}^n$展开式的各项系数绝对值之和为$4^n=1024$，求得$n=5$。在$(\sqrt{x}-\frac{3}{x}{)}^5$展开式的通项公式中，令$x$的幂指数等于$1$，求得$r$的值，可得展开式中$x$项的系数。

解：在$(\sqrt{x}+\frac{3}{x}{)}^n$的展开式中，令$x=1$，
可得$(\sqrt{x}-\frac{3}{x}{)}^n$展开式的各项系数绝对值之和（即$(\sqrt{x}+\frac{3}{x}{)}^n$展开式的各项系数之和）为$4^n=2^{2n}=1024=2^{10}$，
∴$n=5$.
故$(\sqrt{x}-\frac{3}{x}{)}^n$展开式的通项公式为$T_{r+1}=(-3{)}^r\cdot {\mathrm{C}}_5^r\cdot x^{\frac{5-3r}{2}},0\le r\le 5,r\in \mathbb{Z}$.
令$\frac{5-3r}{2}=1$，求得$r=1$，故展开式中$x$项的系数为$-3\times 5=-15$.
故答案为：$-15$.

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题。