动态规划详解与经典模型-优快云博客

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本文深入探讨动态规划，解析其在解决计数问题、最值问题和存在性问题中的应用。介绍了动态规划的两类问题类型：优化问题和组合问题，并讨论了自上而下与自下而上的解决方案。接着，文章列举了三种经典模型：线性模型（如斐波那契数列和最长上升子序列）、区间模型（以连续序列消灭为例）和树状模型。最后，总结了使用动态规划的四部曲，包括确定状态、转移方程、开始和边界条件以及计算顺序。

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动态规划

动态规划一般是来解决
1：计数问题
如有多少种方式走到右下角？
如有多少种方法选出k个数使得和是sum
2：求最大值，最小值
如从左上角走到右下角路径的最大数字和
如最长上升子序列长度
3：求存在性
如取石子游戏，先手是否必胜
如能不能选出k个数使得和是sum

归类成两种类型：
1：优化问题希望你选择一个可行的解决方案，以便最小化或最大化所需函数的值。
2:组合问题希望你弄清楚做某事方案的数量或某些事件发生的概率。

解决方案的对比：自上而下或者自下而上

以下是两种不同的动态规划解决方案：
自上而下：你从最顶端开始不断地分解问题，直到你看到问题已经分解到最小并已得到解决，之后只用返回保存的答案即可。
自下而上：你可以直接开始解决较小的子问题，从而获得最好的解决方案。在此过程中，你需要保证在解决问题之前先解决子问题。表格填充
至于迭代和递归与这两种方法的关系，自下而上用到了迭代技术，而自上而下则用到了递归技术。

取决于该问题是否能用动态规划解决的是这些”小问题“会不会被被重复调用。

经典模型

1.线性模型

最经典的问题就是斐波那楔数列的问题，每个数的值都是一个状态，可以用F[i]表示表示第i个数的值是多少。每个数都是由F[i-1]+F[i-2]转移而来。

另外一个经典的问题就是最长上升自序列（LIS），有一串序列，要求找出它的一串子序列，这串子序列可以不连续，但必须满足它是严格的单调递増的且为最长的。把这个长度输出。示例：1 7 3 5 9 4 8 结果为4。

我们非常容易表示他的状态，我们用f[i]表示以第i个数结尾的，最大的上升自序列是多少？那么它是怎么转移的呢？非常容易想到肯定是从左边的的数转移而来，能转移的数满足什么条件呢？肯定是比a[i]更小的。

线性模式还可以拓展成二维问题，例如背包问题，用f[i][j]表示前i个物品，凑成大小为j的背包，最大的价值是多少。

这类问题非常的多，但是思路都是这样，无非就是从左往右，从上到下，从低维到高维进行转移。

2.区间模型

对于每个问题，都是由子区间推导过来的，我们称之为区间模型，下面是一个例子。

我们有一个连续的序列，每个序列上面都是一个数字c[i]，每次我们都能够消灭一个连续的回文子序列，消灭之后左右会合并，成为一个新序列，问最少需要多少次才能够把整个序列消灭掉。回文就是从左到有从右到左读到的序列都是一样的。题目比较抽象，我们通过一些例子来说明这个问题吧？例如一开始的序列是1 4 4 2 3 2 1，那么我们最少需要2次，先消灭掉4 4 ，然后再消灭调1 2 3 2 1.第二个例子是 1 2 3 4 5 5 3 1，我们先消灭掉2 然后再消灭掉4，最后消灭 1 3 5 5 3 1，需要3次。

我们经常用f[i][j]来表示消灭i,j区间需要的代价，文末有链接详细叙述这个问题，大家感兴趣的可以看一看。

3.树状模型

我们在数据结构树上面进行最求最优解、最大值等问题，上述我们讲的这个绩效考核就是一个树状模型，具体不再累叙。