凃国防老师《高级通信原理》第八章作业题复习

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第八章作业题必做部分

第八章主要是讲两类信道编码方式，线性分组码以及卷积码。

• 线性分组码：（循环码也是线性分组码的一种），核心是生成矩阵和校验矩阵
• 卷积码：核心是编码器、状态转移图、网格图、转移函数、自由距离、好码恶码判断。卷积码采用维比特译码方案，不过必做部分作业题没有维比特译码，有时间再看。

8-1

解题思路：矩阵第一行和第三行换个顺序，就是系统形式；根据系统形式的G写出校验矩阵；先写出错误图样E（共$2^r$），然后根据$S=E\cdot H^T$求的伴随式S；最小码距可以根据列出的全部可用码字来计算；计算出101信息序列对应的码字，发现与H相乘为0，所以正交。

解题步骤：

8-2

解题思路：

• 根据循环码的生成多项式直接得到生成矩阵（不是系统形式）；
• 信息位×生成矩阵，得到所有码字；

注：根据循环码的生成多项式得到生成矩阵有两种方法：

1. 直接得到生成矩阵（非系统形式的生成矩阵）。分别将生成多项式乘以$g^{m-1},...,g^1,g^0$，每次得到的系数作为生成矩阵的行；
2. 直接计算得到系统形式的生成矩阵。分别求取$g^{n-1}mod(g(x)),...,g^{n-m}mod(g(x))$的系数，分别作为冗余位的行。

解题步骤：

8-4

解题思路：
(a）从$p^{14}modg(p)$，一共算11个出来。系数作为冗余位的行。
(b) 对偶码（15，4）。先求出$h(p)$，$h(p)=\frac{p^{15}+1}{g(p)}$。之后生成多项式$G(p)=p^r\cdot h(p^{-1})$；$H(p)=p^m\cdot h(p^{-1})$

解题过程：

8-5

解题思路：先根据生成多项式，分别用用$p^6,p^5,p^4,p^3$除余$g(p)$，余数作为冗余位系数得到循环汉明码的系统形式生成矩阵。根据生成矩阵得到校验矩阵，在校验矩阵最后一行全添1，最后一列上面全添0，得到扩展汉明码的校验矩阵，再反推出扩展汉明码的生成矩阵，从而得到所有可用码字，计算出$d_{min}$。

解题步骤：

8-8

解题思路：
分别得到$h_1(p),h_2(p)$，然后$H_1(p)=p^m\cdot h_1(p^{-1})$，$H_2(p)=p^m\cdot h_2(p^{-1})$。

解题步骤：

8-10

解题思路：首先根据生成矩阵列出所有可用码字；从而列出标准阵列；标准阵列第一列就是错误图样E；$E\cdot H^T$就是伴随式。

解题步骤：

8-17

解题思路：位于标准译码表上同一行的码字，具有相同的错误图样。也就是说发生错误的位置是相同的，在相同位置发生两次0和1的错误，相当于没错，所以是有效码字。

解题步骤：

8-23

解题步骤：




上面少了个J，所以后面的结果算得不对，不要看后面的计算过程了