\documentclass{article}
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\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{第25卷 第5期 \\ 2022年9月}
\fancyhead[C]{高等数学研究 \\ STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS}
\fancyhead[R]{Vol. 25, No. 5 \\ Sep., 2022}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{0}
\begin{document}
\fancyfoot{}
% DOI
\begin{flushleft}
\small \textbf{doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2022.05.017}
\end{flushleft}
\vspace{1.5em}
% 标题、作者、单位
\begin{center}
\textbf{\Huge 一道例题的多种证法} \\
\vspace{1em}
\large 张国铭 \\
\small (牡丹江师范学院\quad 数学科学学院，黑龙江\quad 牡丹江 157011)
\end{center}
\vspace{1em}
% 摘要、关键词
\begin{center}
\begin{minipage}{\linewidth}
\noindent \small \textbf{摘 要} \quad 对华东师范大学数学系编写的《数学分析》(上册)中的一道例题提供了四种证法. \\
\noindent \small \textbf{关键词} \quad 凸函数；不等式；最大值
\end{minipage}
\end{center}
% 分类号等
\begin{flushleft}
\small
\textbf{中图分类号} \quad O171 \quad
\textbf{文献标识码} \quad A \quad
\textbf{文章编号} \quad 1008 - 1399(2022)05 - 0045 - 02
\end{flushleft}
\vspace{1.5em}
% 英文标题、作者、单位
\begin{center}
\textbf{\Large Multiple Methods for Solving an Example} \\
\vspace{1em}
\small ZHANG Guoming \\
\small (School of Mathematical Sciences, Mudanjiang Normal University, Mudanjiang 157011, PRC)
\end{center}
\vspace{1em}
% 英文摘要、关键词
\begin{center}
\begin{minipage}{\linewidth}
\noindent \small \textbf{Abstract} \quad Four ways for solving an example from a textbook are provided in this paper. \\
\noindent \small \textbf{Keywords} \quad convex function, inequality, maximum value
\end{minipage}
\end{center}
华东师范大学数学系编写的《数学分析》（上、下册）自1980年第一版出版以来，历经四十余载，五次改版，如今已成为一部颇有影响的获奖教材，且被多所院校采用，笔者有幸使用这套教材多年，与之相伴，受益匪浅.在这套教材的上册（第四版或第五版）有这样一道例题：
\textbf{例题}\quad 设$f(x)$为区间$(a,b)$上的凸函数，不恒为常数.证明：$f(x)$不取最大值.
\textbf{证明}\quad 若不然，可设$f(x_0)$是最大值.由凸函数的定义，对于任意$x_1,x_2\in(a,b)$，$x_1<x_0<x_2$，有
\begin{equation}
f(x_0)\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)
\end{equation}
\begin{equation}
\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_0)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_0)=f(x_0)
\end{equation}
从而得到$f(x_0)=f(x_1)=f(x_2)$，即$f(x)$是常量函数，矛盾.
教材上给出的证明只有上面短短的几行，可我却想了很久，直至退休也没有想清楚.退休之后没有了教学方面的压力，时间也多了，又把上面这段儿拿来，不时地想想，琢磨琢磨，陆陆续续地得到了几种证法，整理如下：
\textbf{证法1}
若不然，可设$f(x_0)$是最大值.由凸函数的定义，对于任意$x_1,x_2\in(a,b)$，$x_1<x_0<x_2$，有
\begin{equation}
f(x_0)\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)
\end{equation}
\begin{equation}
\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_0)
\end{equation}
从而
\begin{equation}
\left( 1-\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}\right) f(x_0)\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)
\end{equation}
亦即
\begin{equation}
\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_0)\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)
\end{equation}
由此得到
\begin{equation}
f(x_0)\leq f(x_1)
\end{equation}
联系到$f(x_0)\geq f(x_1)$，就有$f(x_0)=f(x_1)$.同理$f(x_0)=f(x_2)$.这说明$f(x)$是常量函数，矛盾.
\textbf{证法2}
若不然，可设$f(x_0)$是最大值.由凸函数的定义，对于任意$x_1,x_2\in(a,b)$，$x_1<x_0<x_2$，有
\begin{equation}
f(x_0)\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)
\end{equation}
\begin{equation}
\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_0)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_0)=f(x_0)
\end{equation}
由此得到（如果$a\leq b\leq c$，那么$0\leq c-b\leq c-a$）
\begin{equation}
0\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}(f(x_0)-f(x_1))+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}(f(x_0)-f(x_2))\leq0
\end{equation}
从而
\begin{equation}
\frac{x_{2}-x_{0}}{x_{2}-x_{1}}\left(f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)+\frac{x_{0}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{2}\right)\right)=0
\end{equation}
亦即
\begin{equation}
\frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{2}-x_{0}}
\end{equation}
联系到$f(x_0)\geq f(x_1)$ ,$f(x_0)\geq f(x_2)$ ，有
\begin{equation}
0\leq \frac{f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{2}-x_{0}} \leq 0
\end{equation}
从而得到 \(f(x_{0})=f(x_{1})=f(x_{2})\) ,即 \(f(x)\) 是常量函数,矛盾.
\textbf{证法3}
若不然，可设$f(x_0)$是最大值.由凸函数的定义，对于任意$x_1,x_2\in(a,b)$，$x_1<x_0<x_2$，有
\begin{equation}
f(x_0)\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)
\end{equation}
\begin{equation}
\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_0)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_0)=f(x_0)
\end{equation}
由此得到
\begin{equation}
\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_0)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_0)=f(x_0)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)=f(x_0)
\end{equation}
两式相减，得到
\begin{equation}
\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}(f(x_0)-f(x_1))+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}(f(x_0)-f(x_2))=0
\end{equation}
因为$f(x_0)$是最大值，所以$f(x_0)\geq f(x_1)$，$f(x_0)\geq f(x_2)$.利用这两个不等式，可得
\begin{equation}
0\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}(f(x_0)-f(x_1))
\end{equation}
\begin{equation}
\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}(f(x_0)-f(x_1))+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}(f(x_0)-f(x_2))
\end{equation}
将上述两式联合起来，就有
\begin{equation}
0\leq\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}(f(x_0)-f(x_1))\leq0
\end{equation}
从而
\begin{equation}
f(x_0)=f(x_1)
\end{equation}
同理
\begin{equation}
f(x_0)=f(x_2)
\end{equation}
至此得到$f(x_0)=f(x_1)$，$f(x_0)=f(x_2)$，即$f(x)$是常量函数，矛盾.
\textbf{证法4}
若不然，可设$f(x_0)$是最大值.因为$f(x)$不是常量函数，所以存在$x_1\in(a,b)$，使得$f(x_1)\neq f(x_0)$，不妨设$x_1<x_0$，继续取$x_2\in(a,b)$，$x_2>x_0$，则有
\begin{equation}
f(x_1)<f(x_0),\quad f(x_2)\leq f(x_0)
\end{equation}
用$\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}$乘第一个不等式的两边，用$\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}$乘第二个并且相加，我们得到
\begin{equation}
\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)<\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_0)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_0)=f(x_0)
\end{equation}
因为$x_0$可写成
\begin{equation}
x_0=\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}x_1+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}x_2
\end{equation}
所以式（25）可写成
\begin{equation}
f\left(\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}x_1+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}x_2\right)>\frac{x_2-x_0}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)
\end{equation}
这与函数$f(x)$的凸性矛盾.由此我们的论断得证.
\lfoot{
\begin{minipage}[t]{0.9\textwidth}
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\begin{flushleft}
\textbf{收稿日期}: 2021-06-17 \qquad \textbf{修改日期}: 2022-05-16 \\
\textbf{基金项目}: 黑龙江省教育厅青年培育项目(1354MSYQN028). \\
\textbf{作者简介}: 张国铭(1960--)，男，黑龙江海伦人，教授，主要从事数学分析的教学工作,\\ Email: zgm1960@126.com.
\end{flushleft}
\end{minipage}
}
\newpage
\centering
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} 华东师范大学数学科学学院.数学分析（上册）[M].5版.北京：高等教育出版社，2019：139-140.
\bibitem{2} Γ.M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第一卷）[M].8版.北京：高等教育出版社，2006：251.
\bibitem{3} 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2002：319.
\end{thebibliography}
\end{document}
- 文章来源：[1]张国铭.一道例题的多种证法[J].高等数学研究,2022,25(05):45-46.
- 本人初学者，试着将数学期刊以latex模板形式还原，不是很标准。如果笔友投稿的话需自己找标准模板。文章来源于中国知网[1]张国铭.一道例题的多种证法[J].高等数学研究,2022,25(05):45-46.
- 感谢张老师。
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