CSAPP 第二章 信息的表示和处理 位&整数 学习笔记（一）

2.1信息的位表示

• 为什么用十进制——适合人类使用

  • 人类十个手指，历史渊源

• 为什么用二进制——适合机器使用

  • 容易表示、储存，容易传输

• 位、字节 bit（比特）

  • 计算机储存、处理的信息：二值信号
    “ 位 ” 或 “ 比特 ”

• 位组合

  • 大多数计算机使用8位的块，或者字节（byte），作为最小的可寻址的内存单元，而不是访问内存中单独的位。
  • 1 字节 = 8 bit 块

2.1.1进制

• 数的通用表示

• 二进制数

  • 特点： 逢二进一，由0和1两个数码组成，基数为2，各个位权以2ⁱ表示。
  • 优点：便于计算机储存、算术运算简单、支持逻辑运算
  • MSB：最高有效位（Most Significant Bit）
    LSB：最低有效位（Lowest Signtificant Bit）
    
  • 缺点：数字串长、书写和阅读不便

• 十六进制数

  • 基数为16，逢16进位，位权位16ⁱ ,16个数码
    0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
  • 十六进制的加减运算
    • 十六进制的加减运算类似十进制
      逢16进1，借1当16
      23D9H+94BEH=B897H
      A59FH-62B8H=42E7H
      二进制和十六进制之间有对应关系：
      每4个二进制位对应1个16进制位
      00111010B=3AH，F2H=11110010B
  • 优点：与二进制转换简单、阅读书写方便

进制转换

• 十进制整数转换为k（2、8或16）进制数

  • 整数转换：用除法—除基取余法
    十进制整数部分不断除以基数k，并记下余数，直到商为0为止。
    由最后一个余数起，逆向取各个余数，则为转换成的二进制或十六进制数。
    126=01111110B 二进制数用后缀字母B
    126=7EH 十六进制数用后缀字母H

• 十进制小数转换为k进制数

  • 小数转换：用乘法-乘基取整法
    乘以基数k，记录整数部分，直到小数部分为0为止，
    0.8125=0.1101B
    0.8125=0.DH

• k进制转换为十进制

  • 方法：按权展开
    2、8、16进制之间的转换

2.1.2计算机内的数值表示——编码

• 需要考虑的问题
  ①编码的长度
  ②数的符号
  ③数的运算

• 字节值编码

  • Byte=8bits
    二进制（Binary）：00000000₂-11111111₂
    十进制（Decimal）：0₁₀-255₁₀
    十六进制（Hexadecimal）：00₁₆-FF₁₆
    

• C数据类型的宽度

c数据类型	32位	64位	x86-64
char	1	1	1
short	2	2	2
int	4	4	4
long	4	8	8
float	4	4	4
double	8	8	8
long double	–	–	10/16
pointer	4	8	8

2.2位级运算

2.2.1布尔代数（Boolean Algebra）

• Geroge Boole（1815-1864）提出逻辑代数的表示
  • 逻辑值“True（真）”编码为1
  • 逻辑值“False（假）”编码为0
• Claude Shannon（1916-2001）创立信息论
  • 将布尔代数与数字逻辑联系起来
• 是数字系统设计与分析的重要工具
• 与 或 非
  • 与（And）

  当A=1并且B=1时，A&B=1
  

  • 或（Or）

  当A=1或者B=1时，A｜B=1
  

  • 非（Not）

  当A=0时，~A=1
  

  • 异或（Exclusion-Or,Xor）

  当A=1或B=1且两者不同时为1，A^B=1
  
  ##2.2.2 一般的布尔代数（Operate on Bit Victors）

• 位向量操作
  • 按位操作
    
• 布尔代数的全部性质均适用

2.2.3示例：集合的表示与运算

• 表示：位向量表示有限集合

  • 宽度w个比特的位向量 [a_w-1,…,a₁,a₀] 表示集合 {0,…,w-1} 的子集 A
  • a_j = 1 当且仅当 j ∈ A
    • 0 11 0 1 00 1 {0,3,5,6}
      7 65 4 3 21 0
    • 0 1 0 1 0 1 0 1 {0,2,4,6}
      7 6 5 4 3 2 1 0

• 运算

  • & 交集
  • ｜并集
  • ^ 对称差集
  • ~ 补集
    ##2.2.4 练习题

• RGB Color Model
  

• 基于R（红色）G（绿色）B（蓝色）的开（1）和关（0），我们就能创建8种不同的颜色：
  

• 颜色中的每一种都可以用长度为3的位向量表示，从而将进行布尔运算

  • 一种颜色的补通过关掉打开的电源同时打开关闭的电源形成

• 描述下面颜色的布尔运算结果：
  Blue ｜ Green = Cyan
  Yellow & Cyan = Green
  Red ^ Magenta = Blue

2.2.4C语言中的位级运算

1.C语言中的位运算：｜,&, ~ ,^

• 适用于任何整数型类型： long,int,short,char,unsigned
• 将操作数视为位向量
• 将参数按位运算

2.例子（char类型）

• 巧用异或
  • 按位异或是一种加的形式
  • A ^ A = 0
    
    

2.2.5对比：C语言的逻辑运算

• c语言的逻辑运算符：&&，‖，！
  • 将所有的 0 看成“False（假）”
  • 将所有的 1 看成“True（真）”
  • 计算结果总是 0 或 1
  • 提前终止（Early termination）、短路求值（short cut）

2.2.6例子（char数据类型）

2.2.7 C语言中的移位运算

• 左移：x << y
  • 将位向量x向左移动y位
    • 扔掉左边多出（移出）的位
    • 在右边补0
      
• 右移：x >> y
  • 将位向量x向右移动y位
    • 扔掉右边多出（移出）的位
  • 逻辑右移：在左边补0
  • 算术右移：复制左边的最高位（y位）
    
• 未明确定义
  • 移位数量y < 0 或y≥x 的字长（位数）

2.3整型数

2.3.1表示有符号和无符号

1.整数编码（Encoding integers ）

①无符号数

• 假设有一个整数数据类型有w位。我们可以将位向量写成向量x，表示整个向量，或者写成[x_w-1，x_w-2，…，x₀]，表示向量中的某一位。
• 把向量x看作一个2进制数。
• 获得无编码数
• 2^w 为数字值的一部分
• 用一个函数B2U_w (Binary to Unsign 的缩写，长度为w）表示。
• 原理：

  • 对向量x=[x_w-1，x_w-2，…，x₀]：

  • 在这个等式中，符号“”表示左边被定义为等于右边。函数U2B_w将长度为w的0,1串映射到非负整数。

  • 示例
    

    • 因此，函数B2U_w 能够被定义为一个映射B2U_w：{0，1}^w→{2^w-1}
• 无符号二进制数表示有一个很重要的属性，也就是每个介于0~2^w-1之间的数都有唯一一个w位的编码值。
• 无符号数编码的唯一性
• 函数B2U_w 为一个双射
• 数学术语双射是指一个函数 f 有两面：它将数值x映射到y，即y = f (x)，但它也可以反向操作，因为对每一个y而言，都有唯一一个数值x使得 f(x) = y，这可以用反函数 f^-1 来表示，即x = f^-1(y)。
• 函数B2U_w将每一个长度为w的位向量都映射为0 ~ 2^w-1的唯一值；反过来，我们称U2B_w（即无符号函数到二进制），在0 ~ 2^w-1之间的每一个整数，都可以映射一个唯一的长度为w的为模式。

②有符号数——补码（Two‘s complement）

• 用函数B2T表示位到补码的映射（Binary to Two’s complement）
• 用T2B^-1表示补码的位模式

short int x :	15213
short int y :	-15213

• c short :2字节
  
• 补号位
  • 对于补码，最高位表示符号
    • 0表示非负数（!=正数），1表示负数
• 带符号数的表示及其运算

  • 机器数与真值

    • 机器数：最高位0表示正数，最高位1表示负数。
      

  • 原码
    

  • 反码

    • 正数的反码与其原码相同
    • 负数的反码为：
      其原码中符号不变，其余各位取反。
      

  • 补码

    • 正数的补码与其原码相同
      （正数的原码，反码，补码均相同）
    • 负数的补码为：其反码的最低位加1。
      
      示例：
      

2. 数值范围

• 无符号数值（U）
  • UMin = 0
    000…0
  • UMax = 2^w - 1
    111…1
• 补码数值（T）
  • TMin = -2^w-1
    100…0
  • TMax =2^w-1 - 1
    011…1
  • -1
    111…1

• 不同字长的数值
  

• 观察

  • |TMin| = TMax + 1
    非对称
  • UMax = 2 * TMax + 1

• C语言的常量声明

  • #include <limits.h>
    • #define INT_MAX 2147483647
    • #define INT_MIN (-INT_MAX-1)
    • #define UINT_MAX 0xffffffff
  • 平台相关
    • #indefine ULANG_MAX
    • #define ULONG_MAX
    • #define UlONG_MIN(-LONG_MAX-1)

• 无符号数与有符号数编码的值
  

  • 相同
    • 非负数的编码相同
  • 单值性
    • 每个位模式对应一个唯一的整数值
    • 每个可描述整数有一个唯一编码
    • →有逆映射
    • U2B(x) = B2U^-1(x)
      • 无符号整数的位模式
    • T2B(x)= B2T^-1(x)
      • 补码的位模式

2.3.2无符号数和有符号数的转换

• C语言允许在各种不同的数字数据类型之间做强制类型转换。
  
• 转换规则：
  位模式不变、数值可能改变（按不同编码规则重新解读）

3.有无符号数的转换

• 正数部分直接转换

• 负数部分
  
  • 关系
    
  • 由上图可以看出，-12345和53191的位模式都是一样的，只是这两个数对位模式的解释不同。
  • 因此，转换的关键是注意位编码的高位在解释正负号时的变化
• 转换的可视化
• 补码→无符号数
  • 顺序导致
  • 负数→大整数
    

4.基本原则

• 位模式不变
• 重新解读
• 会有意外作用：数值被 + 或 -2^w
• 当表达式同时含有无符号数和有符号数时
  • 有符号数被转换为无符号数
  • 当心副作用
    ##2.3.3 C语言中的有符号数和无符号数
• C语言支持所有整型数据类型的有无符号数运算。尽管C语言标准没有制定有符号数要采用某种表示，但几乎所有的机器都使用补码。通常，大多数数字都默认为是有符号的。例如，当声明一个像12345或0x1A2B这样的常量时，这个值就被认为是有符号的。要创建一个无符号常量，必须加上字符“U”或“u”，例如，12345U或0x1A2Bu。
• C语言允许有无符号之间的运算。虽然C语言标准没有精确规定应该如何进行这种转换，但大多数系统遵循的原则是底层的位表示不变。因此，在一台采用补码的机器上，当从无符号数转换为有符号数时，效果就是应用函数U2T_w，而从有符号转换为无符号时，就是应用函数T2U_w，其中 w 表示数据类型的位数。

2.3.3扩展、截断

1.符号扩展

①任务：

• 给定w位的有符号整型数x
• 将其转换为w+k位的相同数值的整型数

②规则：

• 将最高有效位（符号位）x_w-1复制k份：
• 示意图

③符号扩展示例

• 从短整数类型向长整数类型转换时，C语言自动进行符号扩展。

④总结扩展、截断的基本规则

• 扩展（例如从short int 到 int 的转换）
  • 无符号数：填充0
  • 有符号数：符号扩展
  • 结果都是明确的预期值
• 截断（例如从unsigned 到unsigned short的转换）
  • 无论有/无符号数：多出的位均被截断
  • 结果重新解读
  • 无符号数：相当于求模运算
  • 有符号数：与求模运算相似
  • 对于小整数，结果是明确的预期值

2.3.4总结

• 我们看到了许多无符号运算的细微特性，尤其是有符号数到无符号数的隐式转换，会导致错误或者漏洞的方式。避免这类错误的方法就是绝不使用无符号数。实际上，除了C之外很少有语言支持无符号整数。很明显，这些语言的设计者认为它们带来的麻烦要比益处多得多。
• 但当我们想要把字仅仅看做是位的集合而没有任何数字意义时，无符号数值是非常有用的。

2.3.5 整数运算：加，非，乘，移

1.无符号数加减

• 许多刚入门的程序员非常惊奇的发现，两个正数相加会得到一个负数，而比较表达式x>y和比较表达式x-y<0会产生不同的结果。这些属性都是由于计算机运算的有限性造成的。

①无符号加法

• 操作数：w位
• 真实和：w+1位
• 丢弃进位：w位
• 示意图

• 标准加法功能
  • 忽略进位输出
• 模数加法：相当于一个模运算
  

②整数加法可视化示意图

• 整数加法

  • 4-bit整型数x，y
  • 计算真实值Add₄（x,y）
  • 和随x和y线性增加
  • 表面为斜面形

  

③无符号数加法可视化

• 数值面有弯折
• 当真实和≥2^w时溢出
• 最多溢出一次
  
  

2.补码加法

• 操作数：w位
• 真实和：w+1位
• 丢弃进位：w位
• 示意图
  

①Tadd和Uadd具有完全相同的位级表现

• C语言中有符号数（补码）与无符号数加法：

  int s, t, x, y;
  s = (int)((unsigned)x+(unsigned)y);
  t = x + y
  

• 将会有s == t

②规则

• 真实和需要w+1位
• 丢弃最高有效位（MSB）
• 将剩余的位视作补码（整数）
  

③补码加法的溢出问题

• 补码加法的可视化表示
  • 数值
    • 4位补码
    • 数值范围-8~+7
  • 弯折一一溢出
    • x + y ≥ 2^w-1 时
      • 变成负数
      • 最多一次
    • x + y < 2^w-1 时
      • 变成正数
      • 最多一次

3.乘法

• 目标：计算w位的两个数x和y的乘积
  • 有符号数或无符号数
• 乘积的结果可能超过w位
  • 乘积的无符号数最多可达2w位
    • 结果范围：0 ≤ x * y ≤ （2^w-1）²=2^2w -2^w+1+1
  • 补码的最小值（负数）最多需要2w-1位
    • 结果范围：x * y ≥ （-2^w-1） *（2^w-1-1） = - 2^2w-2 + 2^w-1
  • 补码最大值（正数）最多需要2w位——值位（Tmin_w）²
    • 结果范围： x * y ≤（-2w-1）² = 2^2w-2
• 为了获得精确结果可拓展乘积的字长
  • 在需要时使用软件方法完成，例如：算术程序包“arbtrary precision”

①C语言的无符号乘法

• 操作数：w位
• 真实乘积：2w位
• 丢弃w位：保留低位w位
  
• 忽略高w位
• 相当于对于乘积执行了模运算
  UMult_w（x , y）=x * y mod 2^w

②C语言的有符号乘法

• • 操作数：w位

• 真实乘积：2w位

• 丢弃w位：保留低位w位
  

• 忽略高w位

• 与无符号数乘不同之处

  • 乘积的符号扩展

• 乘积的低位相同

③用移位实现乘以2的幂

• 无论有符号数还是无符号数：
  u << k 可得到 u * 2^k
• 操作数：w 位
• 真实乘积：w + k 位
• 丢弃高 k 位：保留低 w 位
  
• 示例
  • u << 3 == u * 8
  • ( u << 5 ) - ( u << 3 ) == u * 24
  • 绝大多数机器，移位比乘法快
  • 编译器自动生成基于移位的乘法代码

④用移位实现乘以2的幂

• 无符号数“除以2的幂”的商
  • u >> k 得到（u / 2^k）
  • 使用逻辑右移
    • 操作数
    • 除法
    • 结果
      
• 示例