托盘装载问题(PLP)

问题

在一个尺寸为$L\times W$ 的大矩形（object）内，正交摆放尺寸为 $a\times b$ 的小矩形(items)。小矩形的边界必须平行于大矩形的边界，任何小矩形之间不可以重叠，且任何小矩形的边界不可以超出大矩形的边界。问如何摆放才能使得托盘上承载的零件最多。

建模

变量

二值变量$X{1}_{pq}$表示在$(p,q)$点是否有横放的矩形($(p,q)$位于矩形左下角)，$X{2}_{pq}$表示是否纵放。

目标

$$max\sum _{p=1}^{L-a+1}\sum _{q=1}^{W-b+1}X{1}_{pq}+\sum _{p=1}^{L-b+1}\sum _{q=1}^{W-a+1}X{2}_{pq}$$

约束

∑p=max{1,r−a+1}min{r,L−a+1}∑q=max{1,s−b+1}min{s,W−b+1}X1pq+∑p=max{1,r−b+1}min{r,L−b+1}∑q=max{1,s−a+1}min{s,W−a+1}X2pq≤1 (r=1,...,L;s=1,...,W) \sum_{p=max \lbrace 1,r-a+1 \rbrace}^{min \lbrace r,L-a+1\rbrace} \sum_{q=max \lbrace 1,s-b+1 \rbrace}^{min \lbrace s,W-b+1\rbrace} X1_{pq}+ \sum_{p=max \lbrace 1,r-b+1 \rbrace}^{min \lbrace r,L-b+1\rbrace} \sum_{q=max \lbrace 1,s-a+1 \rbrace}^{min \lbrace s,W-a+1\rbrace}X2_{pq} \le 1 \space (r =1 ,...,L;s=1,...,W) p=max{1,r−a+1}∑min{r,L−a+1}​q=max{1,s−b+1}∑min{s,W−b+1}​X1pq​+p=max{1,r−b+1}∑min{r,L−b+1}​q=max{1,s−a+1}∑min{s,W−a+1}​X2pq​≤1 (r=1,...,L;s=1,...,W)
X1pq∈{0,1} (1≤p≤L−a+1;1≤q≤W−b+1)X1_{pq} \in \lbrace 0,1 \rbrace \space (1 \le p \le L-a+1;1 \le q \le W-b+1)X1pq​∈{0,1} (1≤p≤L−a+1;1≤q≤W−b+1)
X2pq∈{0,1} (1≤p≤L−b+1;1≤q≤W−a+1)X2_{pq} \in \lbrace 0,1 \rbrace \space (1 \le p \le L-b+1;1 \le q \le W-a+1)X2pq​∈{0,1} (1≤p≤L−b+1;1≤q≤W−a+1)