root MUSIC 算法补充说明

  这篇笔记是上一篇关于 root MUSIC 笔记的补充。

多项式求根

  要理解 root MUSIC 算法，需要理解多项式求根的相关知识。给定多项式 $P(x)$：
$$P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$$
容易看出 $P(x)$ 中只有一个未知数 $x$，且未知数的最高次数为 $n$，因此称 $P(x)$ 为一元 $n$ 次多项式，同时系数 { a i ∈ C : i = 0 , ⋯   , n } \{a_i\in\mathbb{C}:i = 0,\cdots, n\} { ai​∈C:i=0,⋯,n}。而多项式求根就是求得一元 $n$ 次方程式 $P(x)=0$ 的解，这个解被称作根或者零点。
  在进行后续的讨论前，还需要清楚，根据代数基本定理，$n$ 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 $n$ 个根（这里的重根按重数计算）。

root MUSIC 算法原理

  root MUSIC 算法是 MUSIC 算法的一种多项式求根形式。回忆一下，传统 MUSIC 算法利用了噪声子空间矩阵 ${\mathbf{U}}_n$ 和搜索方向矢量 $\mathbf{a}(\theta )$ 来构造空间谱：
$$\begin{gathered} P(\theta )=\frac{1}{{\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{U}}_n{\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )} \\ \mathbf{a}(\theta )={\left[1,e^{-\mathrm{j}2\pi d\sin \theta /\lambda },\cdots ,e^{-\mathrm{j}2\pi (M-1)d\sin \theta /\lambda }\right]}^T \end{gathered}$$
在 { θ = θ k : k = 1 , ⋯   , K } \{\theta = \theta_k:k = 1,\cdots,K\} { θ=θk​:k=1,⋯,K} 时 $P(\theta )$ 将产生峰值，换句话说此时 $P^{-1}(\theta )=0$。
  在接下来的讨论中，我们令 $P^{-1}(\theta )={\mathbf{a}}^H(\theta )\mathbf{Ga}(\theta )$，此时我们可以知道，MUSIC 算法满足 $\mathbf{G}\triangleq {\mathbf{U}}_n{\mathbf{U}}_n^H$，而 Capon 算法满足 $\mathbf{G}\triangleq {\mathbf{R}}^{-1}$。需要注意的是无论是 MUSIC 算法还是 Capon 算法，$\mathbf{G}$ 均是 Hermitian 矩阵。
  令 $\omega =-2\pi d\sin \theta /\lambda$ 以及 $z=e^{\mathrm{j}\omega }$，我们将会得到：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}(z)& \\ P^{-1}(z)& \end{array}$$