Hile每日算法-3.31-树形dp之换根法

树形dp之换根法

周二周三真的太难了，有早课导致不能熬夜，于是就只能趁着中午的时间写一写，这几天先写点简单的东西，就当重新复习了，应该算是给初学者的知识普及，其他的过了周三再说。

首先来讲一下树的重心。

树的重心，即 树上到所有点的距离之和最小/以此为根深度最小/最大子树大小最小 的点，具有很多方便的性质，如：

1.当一棵树添加/删除一个节点，树的重心最多移动一个位置。（动态维护）（19icpc徐州M题，so~no~chi~no~sa~da~me~）

2.当两棵树通过某点连接在一起形成新树时，新树的重心一定在连接两棵旧树重心的路径上。（两树合并）

3.以一颗树的重心为根，划分的子树大小一定不超过原树的一半。（树分治）

众所周知，回字有四种写法，门前有两棵枣树，重心也有两种求法（通常情况下），一种是两遍dfs找树上最长路径的中点，一种就是今天要讲的内容——树形dp之换根法。

首先，初始是不知道重心所在的，最直接的方法就是枚举每个点作为重心的情况。由上面重心的定义可以知道，重心一定是最大的子树大小最小的点。因此，我们不妨先把$1$作为根，设$s[i]$为以$1$为根时子树$i$的大小，根据dfs的性质，子树遍历结束的时候，其$s[i]$也被更新完了，所以，一次从$1$开始的dfs就可以求出所有点的子树大小。

如果我们用$f[i]$来表示以$i$为根的最大子树大小，根据上述算法，dfs结束后可以求出$f[1]=max(s[son])$。此时，如果根从$1$换到了$1$的子节点上，$f[i]$该如何变化呢？

$$f[i]=max(s[son],n-s[i])$$

这里满足了动态规划的三要素：状态、边界条件、转移方程。

更具体地说，要在树上所有的点中找到满足条件的根，就要确定随根变化的数据（状态）、初始当根为$1$的情况（边界条件）、根从上往下移动的变化（转移方程）。

来一道题感受一下：

CF1187E Tree Painting

题意：给定一棵所有结点初始为白色的树，第一回合选择任意一个白点涂黑，接下来每次都选和黑点邻接的白点涂黑，每次（包括第一次）选点时会获得这个点所在的白点连通块大小的分数，求可能获得的最大分数。

这就是换根法的直接应用了。第一个涂黑的点就相当于选一个根，然后沿着根往下走。假设以$1$为根，$s[i]$表示$i$的子树大小，$1$为根时的答案$an{s}_1$即为${\sum }_{i=1}^{n}s[i]$。当根由$u$变为$v$时，$an{s}_v=an{s}_u-s[v]+(s[1]-s[v])=an{s}_u-2\ast s[v]-s[1]$。$an{s}_i$的最大值就是答案。

#include <bits/stdc++.h>
#define N 200010
#define ll long long
using namespace std;
int n;
vector<int> G[N];
ll sum[N],ans,s;
void dfs1(int u,int fa)
{
    for(int v:G[u])
        if(v!=fa)
        {
            dfs1(v,u);
            sum[u]=sum[v]+1;
        }
    s+=sum[u];
}
void dfs2(int u,int fa,ll s)
{
    ans=max(ans,s);
    for(int v:G[u])
        if(v!=fa)
            dfs2(v,u,s-2LL*sum[v]+sum[1]);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1,u,v;i<n;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,0,s);
    cout<<ans;
}

睡眠时间不够，ddl到了作业也没做，导致这次写的比较仓促，内容也不是很详尽，还好算法并不复杂。明、后两天准备写一写数论基础，尤其是数学角度的推理过程（好像我也不怎么擅长这些）。