蚂蚁算法应用（二）

An ant-based algorithm for coloring graphs

1.研究背景

图的着色问题涉及到任务调度、时间制表、通信网络中的频率分配、寄存器分配、PCB设计中的短路测试以及传统的地图着色等问题。
由于图的着色问题是NP难题的，逼近算法也不是很有前途，因此很多工作都集中在启发式算法的设计上。图着色问题的启发式使用各种算法设计技术，包括构造方法、迭代方法、遗传算法、局部搜索方法、禁忌技术和蚂蚁系统算法。
图着色：
设G =（V，E）是顶点集V和边集E的无向图，图着色即相邻顶点必须具有不同的颜色。 G具有适当的k着色的最小k被称为G的色数。顶点v处的冲突是与v相邻的具有与v相同的颜色的顶点。图G中的总冲突是具有相同颜色的相邻顶点对的数量。图着色问题是找到最小k的问题。

2.国内外研究现状

Costa和Hertz 蚂蚁可以从一个顶点移动到图中的任何其他顶点
Comellas和Ozon 蚂蚁系统算法，每只蚂蚁得到的结果都是基于RLF或DSATUR等传统的序列方法。

3.创新点

① 使用蚂蚁的方式不同，算法中的每个蚂蚁只使用局部信息给图的一部分着色。每只蚂蚁的着色动作构成了整个图的着色。通过这种方式，ABAC更适合分布式实现
优势：每个测试图的标准差都非常小
② 在我们的算法中蚂蚁没有信息素的铺设能力。经过试验发现，在这个算法中，信息素对解决方案的质量没有显示出明显或显著的影响。所以，在有限的实验中，这有助于减少运行时间。

4.具体算法

参数解释

nJoltCycles：陷入局部最优的连续循环数量，我们设置nJoltCycles = max{n/2,600}。

nBreakCycles：在算法终止之前，有效值没有改进的连续循环数。

a：是由MXRLF生成的颜色类的百分比，这些颜色类可供蚂蚁最初使用。我们准备 a= 80%。
b：MXRLF中的颜色类的百分比，这些类用于在ant开始之前为图形创建初始颜色。 b= 50%。
y：是MXRLF中颜色类的百分比，用于着色在初始 中没有着色的顶点。 y= 70%
MXRLF_SET_LIMIT：是MXRLF中的颜色类/分区大小限制。我们设置MXRLF_SET_LIMIT = 0.7n

nMoves：是蚂蚁在停止之前可以访问的顶点数。我们定义nMoves如下。

nChangeCycle：允许的连续循环的数量，其中在可用颜色(可用颜色)的数量增加之前没有任何改进。我们设置nChangeCycle = 20。

nAnts：是一个蚁群中的蚂蚁数量，它被设置为图中顶点数量的20%。为了提高效率，不允许nant超过100
nCycles：是整个着色过程中的循环数，设置为min{6n,4000}
n = |V|是顶点集的基数

R_SIZE_LIMIT：最近访问的顶点列表的长度。蚂蚁将避免重新访问它的禁忌列表中的那些顶点，从而允许对图进行更多样化的探索。我们设置R_SIZE_LIMIT = nMoves/3。

步骤1：得到图G的颜色上界K

设G = (V,E)为输入图。我们首先运行MXRLF,获得适当图G的k着色。K是图G上颜色数的上界。
MXRLF：
将图G未着色的点分为两组：
P组顶点：不相邻于任何已着色的顶点，R组顶点：相邻于至少一个已着色的顶点。MXRLF在构建color类时不使用来自R的顶点。按顺序选择P中最大度数的顶点添加到第一个color类中，更新P,R组，重复上述过程,直到P是空的或者颜色类大小受到限制，整个图形着色。

步骤2：初始化参数

K为图G的颜色种类上界。最初设置可以选择的给蚂蚁上色的颜色记为 ，a=80%。
k个颜色类中随机选择 个颜色类保留。其余顶点清除颜色，用 个颜色随机分布上色， 。颜色类被重新编号，以便所有颜色都在集合 中。现在我们有了一个有 个颜色的有色图G，这个颜色可能不是g的正确颜色。

步骤3：进入循环

然后将一群蚂蚁随机分布到图的顶点。
在每个循环中，一次激活一个蚂蚁，蚂蚁只知道局部情况。当蚂蚁在顶点时，判断该点处是否有冲突，如果有冲突，从颜色集中选择临近点未使用的颜色进行重新着色，当满足要求的几种可用颜色中有选择时，蚂蚁只是随机选择一种颜色。
如果不存在附近点未使用的颜色，则选择附近点使用数量最少的颜色进行着色，以最小化该顶点处的冲突。
然后更新该顶点处的冲突。
ant不知道整个图的总冲突。在蚂蚁完成对当前顶点的着色后，蚂蚁会选择该点的临近点中冲突最小的那个点，移动到该点，继续解决冲突。
此外，每个蚂蚁还有一个禁忌列表，其中包含他们无法重访的最近访问过的顶点。 禁忌列表有助于防止蚂蚁卡在循环中。

步骤4：情况判断

如果陷入局部最优，进行“震动”法。
局部最优：蚂蚁从当前顶点到下一顶点时，选择临近点中冲突最小的顶点。但很有可能冲突值一样，导致蚂蚁陷入局部最优。
振动法：为了帮助蚂蚁解决局部最优，我们通过一种“震动”的方法扰乱图形的当前着色。选择图中在前10％中存在冲突的顶点，并使用当前可用颜色集的80％随机重新着色它们的相邻点。“震动”的想法是注入足够的干扰进入当前的着色，使其移出当前的局部最佳，但不足以破坏已建立到那一点的着色。

当所有蚂蚁都完成一个循环时，如果当前图G没有冲突，那么可用颜色的数量将减少一个，更新颜色种类最优值和可用颜色集，然后我们开始另一个循环。
如果在允许连续的循环中，当前颜色种类的最优值一直没变，则输出最优值。

5.实验结果：

对于每个图，我们列出了图的名称、颜色数上界、算法在50次试验中产生的边界结果的最小值、最大值、平均值和标准差。我们还列出了每个图的50次运行中的平均运行时间(以秒为单位)。对于一些图，运行时间太小，无法记录，并且被记录为0。需要注意的是，结果的标准差非常小，除三幅图外，其余均小于1，并且这三幅图的标准差小于2。在这119幅图中，我们的算法找到了56幅图的最优k值。有7个图，我们的算法得到了较差的结果，但都在允许范围内。

6.结论：

在本文中，我们提出了一种基于蚁群算法的图着色算法，它在119个DIMACS基准图上运行良好。为解决图着色问题提供了一个新思路。