(五) FIR滤波器：用Python实现噪音克星

—— 从理论到实战：打造你自己的“降噪耳机”

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一、什么是FIR滤波器？

FIR（Finite Impulse Response，有限冲激响应）滤波器是一种非递归数字滤波器：

• 核心特征：输出仅取决于当前和过去的输入（无反馈项）。

• 差分方程：

  $$y[n]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

  其中 $b_k$ 为滤波器系数，$M$ 为阶数。

优势：稳定性（无极点）、线性相位（信号不失真），广泛用于音频处理、通信系统。

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二、FIR滤波器设计三步曲

1. 确定规格

• 截止频率：要保留（低通/高通）或抑制（带阻）的频率边界。
• 过渡带宽：通带到阻带的过渡区域宽度（影响阶数）。

2. 选择设计方法

• 窗函数法（简单直观）
• 等波纹法（Parks-McClellan算法，优化性能）

3. 系数计算与实现

生成系数 $b_k$，并通过卷积运算实时处理信号。

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三、Python实战：用窗函数法设计低通滤波器

目标：滤除语音信号中高于1kHz的高频噪声

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import firwin, freqz, lfilter

# 参数设置
fs = 8000          # 采样率8kHz
cutoff = 1000      # 截止频率1kHz
numtaps = 65       # 滤波器阶数（长度=numtaps）

# 生成FIR滤波器系数（Hamming窗）
taps = firwin(numtaps, cutoff, window='hamming', fs=fs)

# 绘制频率响应
w, h = freqz(taps, fs=fs)
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.plot(w, 20*np.log10(np.abs(h)), 'b')
plt.axvline(cutoff, color='r', linestyle='--')
plt.title(f"FIR低通滤波器频率响应 (截止频率={cutoff}Hz)")
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('增益 (dB)')
plt.xlim(0, fs/2)
plt.show()

# 生成测试信号：语音+高频噪声
t = np.linspace(0, 1, fs)
signal = np.sin(2*np.pi*500*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*3000*t)

# 应用滤波器
filtered = lfilter(taps, 1.0, signal)

# 结果对比
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.plot(t, signal, 'gray', alpha=0.5, label="原始信号 (含3kHz噪声)")
plt.plot(t, filtered, 'r', label="滤波后信号")
plt.xlabel("时间 (秒)")
plt.ylabel("振幅")
plt.title("滤波效果对比")
plt.legend()
plt.xlim(0, 0.02)
plt.show()  # 显示前0.02秒细节

运行结果：

• 频谱图显示截止频率在1kHz，3kHz噪声被抑制
• 时域图可见高频振荡（噪声）被有效滤除

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四、关键参数解析

1. 阶数选择

• 公式估计（Kaiser窗）：

  $$N\approx \frac{A}{14.6\Delta f}$$

  $A$：阻带衰减（dB），$\Delta f$：过渡带宽（Hz）

• 示例：若要求衰减50dB，过渡带宽100Hz → $N\approx 50/(14.6\times 100/8000)\approx 274$

2. 窗函数比较

窗类型	主瓣宽度	旁瓣衰减	适用场景
矩形窗	窄	-13dB	快速实现，精度要求低
汉明窗	中等	-41dB	通用设计（平衡性能）
布莱克曼窗	宽	-58dB	高衰减需求（如雷达）

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五、现实应用

1. ECG信号去噪：滤除肌电干扰（高频）和基线漂移（低频）
2. 软件无线电：下变频和信道选择
3. 触觉反馈：滤除马达驱动电路的高频噪声

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六、常见问题

1. “FIR滤波器为什么延迟大？”
   • 因为对称结构需要缓存多个输入样本（延迟=阶数/2）。
2. “如何实时处理？”
   • 使用环形缓冲区（如FPGA的FIFO）逐帧处理。

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动手实验：尝试将 cutoff 改为1500Hz，观察滤波后信号的变化。增加 numtaps 参数，比较过渡带的变化。