最小生成树 (prim 模板)

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存个模板!!

prim:用小根堆优化的时间复杂度是(V + E)logV,时间复杂度跟dijkstra一样,因为实现思路基本一样。

该算法巧妙的利用了,最小生成树的切分性质:给定任意切分,横切边最小的边必然属于最小生成树(横切边是指一个端点在最小生成树中,另一个不在)。

update:其实感觉没太必要,这个时间复杂度直接kruskal就好了,不需要堆优化的最小生成树。

朴素prime:复杂度o(n*n)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pi pair<int,int>
#define mk make_pair
#define pb push_back
using namespace std;
const int maxn = 5005;
int a[maxn][maxn], d[maxn], vis[maxn], n;
void primes()
{
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	memset(d, 0x3f, sizeof(d));
	d[1] = 0;
	for(int i = 1; i < n; i++)
	{
		int x = 0;
		for(int j = 1; j <=
### Prim算法实现最小生成树的代码模板 以下是基于Prim算法实现最小生成树的经典代码模板,适用于加权无向图: #### 使用邻接矩阵表示图 ```python import sys def prim_mst(graph): n = len(graph) key = [sys.maxsize] * n # 初始化键值数组,用于记录当前最短距离 parent = [-1] * n # 记录父节点,构建最终MST visited = [False] * n # 节点访问状态 # 初始设置第一个顶点为起点 key[0] = 0 result_edges = [] # 存储MST中的边 for _ in range(n): # 遍历所有顶点 u = min_key(key, visited) # 找到未访问且key值最小的顶点 visited[u] = True # 将该顶点标记为已访问 # 更新相邻顶点的距离 for v in range(n): if graph[u][v] > 0 and not visited[v] and graph[u][v] < key[v]: key[v] = graph[u][v] parent[v] = u # 构建并返回MST的结果 for i in range(1, n): result_edges.append((parent[i], i, graph[parent[i]][i])) return result_edges def min_key(key, visited): """辅助函数:找到未访问过的具有最小key值的顶点""" min_val = sys.maxsize min_index = -1 for v in range(len(key)): if key[v] < min_val and not visited[v]: min_val = key[v] min_index = v return min_index ``` 上述代码实现了通过邻接矩阵存储图结构的方式计算最小生成树。其中`graph`是一个二维列表,代表图的邻接矩阵。 --- #### 使用优先队列优化(适合稀疏图) 对于较大的稀疏图,可以采用堆来加速选取最小权重的过程。下面是使用`heapq`模块实现的版本: ```python import heapq def prim_heap(graph): n = len(graph) visited = set() # 已经加入MST的节点集合 heap = [(0, 0)] # (权重, 起始节点),初始设为从第0个节点出发 total_weight = 0 # MST总权重 mst_edges = [] # 存储MST中的边 while heap: weight, u = heapq.heappop(heap) # 取出当前最小权重的边 if u in visited: # 如果已经访问过,则跳过 continue visited.add(u) # 加入已访问集合 total_weight += weight # 增加权重至总和 # 添加新边到结果集中 if len(mst_edges) != 0: # 排除起始节点的情况 last_edge = mst_edges[-1] if last_edge[1] == u or last_edge[2] == u: mst_edges.append(last_edge) # 对于u的所有邻居,更新候选边 for v, w in enumerate(graph[u]): if w > 0 and v not in visited: # 权重有效且未访问 heapq.heappush(heap, (w, v)) return mst_edges, total_weight ``` 此方法利用了优先队列减少每次查找最小权重的时间复杂度,特别适合处理大规模稀疏图[^2]。 --- ### 总结 以上两种方式分别展示了如何通过朴素版和优化版的Prim算法解决最小生成树问题。前者时间复杂度较高,但易于理解;后者则更高效,尤其针对大型数据集表现优异。
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