D. Magic Numbers （数位dp）

最新推荐文章于 2025-06-19 10:15:46 发布

蒋卫升

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分类专栏：动态规划

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本文介绍了一道数位动态规划（数位DP）的入门题，目标是计算特定区间内符合魔力数字定义的数的数量。魔力数字需满足奇数位不等于k，偶数位等于k，且整个数能被m整除。文章详细阐述了解题思路与代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

学长说这是数位dp入门题，我数位dp果然没入门，枯了。

题意：给你一个m，k，然后输入一个正整数a，和正整数b，（a，b的长度小于等于2000），问a到b中有多少魔力数字，所谓魔力数字就是，从高位到低位，偶数位置的数都是k，奇数位的数不能是k，并且这些数能被m整除。

思路：数位dp算出0-b的答案，0-a的答案，相减即为最终答案，如果a是合法答案，最终的答案要+1。设d【pos】【sta】【limit】为枚举到第pos位，当前数%m等于sta，下个位置有没有限制的答案数。ok函数是用于判断a是否是合法答案。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int m,k,n;
const int mod = 1e9+7;

char aa[2005],bb[2005];
int a[2005],b[2005];
ll d[2005][2005][2];

ll dfs(int pos,int sta,int limit,int x[])
{
	if(pos==n+1)return (sta == 0);
	if(d[pos][sta][limit] != -1)return d[pos][sta][limit];
	int up = limit?x[pos]:9;
	long long ans = 0;
	for(int i=0;i<=up;i++)
	{
		if(pos%2 == 0 && i!=k)continue;
		if(pos%2 && i==k)continue;
		int sta2 = (sta*10 + i)%m;
		ans = (ans + dfs(pos+1,sta2,limit&&i==up,x))%mod;
	}
	return d[pos][sta][limit] = ans;
}
bool ok()
{
	int i,tmp = 0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i%2 && a[i]==k)break;
		if(i%2==0 && a[i]!=k)break;
		tmp = (tmp*10 + a[i])%m;
	}
	return tmp%m==0 && i==n+1;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&k);
	scanf("%s%s",aa+1,bb+1);
	n = strlen(aa+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i] = aa[i]-'0';
		b[i] = bb[i]-'0';
	}
	memset(d,-1,sizeof(d));
	long long ans = dfs(1,0,1,b);
	memset(d,-1,sizeof(d));
	ans = (ans - dfs(1,0,1,a) + mod)%mod;
	if(ok())++ans;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}