一个初学者对于Channel decompositon的一点理解

Introduction

在做 system model 和 problem formulation 的时候，对于信道的构成以及标准表达格式理解的不太清楚，是以想要完成这篇总结，后续随着理解加深会不断补充其他情况。每个人对于信道模型的理解有所不同，但是对于处于研一阶段的我来说，由于线性代数以及矩阵论的学习还不深入，在对于所看论文里的系统模型以及传输协议进行理解的过程中，我认为最重要的就是保证维度的匹配，这也是在我完成第一个 system model 时耗时甚久的重要原因。

Notation and Identities

首先，需要先对不同的符号以及是否加粗进行定义：（在初学阶段，格式的统一很重要）

• 标量（scalar）不需要加粗，用小写字母表示；
• column vectors 需要加粗表示，用小写字母表示；
• matrix 用大写字母加粗表示；
• $\otimes$ 代表Kronecker product;
• $A^T$代表矩阵的转置，在信道的分解中主要目的是匹配维度，不过同时还有$A^H$代表Hermitian vector, 目前我没搞懂这俩对于信号的实际意义有什么区别。

Channel model without IRSs

考虑一个MIMO系统，输入和输出的信号遵循以下关系：
$$\begin{array}{c}\mathbf{y}=\mathbf{Hx}+\mathbf{v}\in {\mathbb{C}}^{M_r\times 1}\end{array}$$
其中，$\mathbf{x}\in {\mathbb{C}}^{M_t\times 1}$ 是传输的信号，$v$ 是RX端的Additive White Gaussian Noise(AWGN), $\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{M_r\times M_t}$​ 可以被modeled 成如下形式：
$$\begin{array}{c}\mathbf{H}=\sum _{p=1}^P{\gamma }_p{\mathbf{a}}_p^{(\mathrm{rx})}{\mathbf{b}}_p^{(\mathrm{tx})\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{M_r\times M_t}\end{array}$$
其中，${\gamma }_p$ 是path loss 和fast-fading components，${\mathbf{a}}_p^{(\mathrm{rx})}$ 和${\mathbf{b}}_p^{(\mathrm{tx})}$ 分别是$p$th steering vectors，它们的定义如下：
$$\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_p^{(\mathrm{rx})}={\left[1,\dots ,e^{-j\pi \left(M_r-1\right)\cos \left({\alpha }_p\right)}\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{M_r\times 1}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{\mathbf{b}}_p^{(\mathrm{tx})}={\left[1,\dots ,e^{-j\pi \left(M_t-1\right)\cos \left({\beta }_p\right)}\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{M_t\times 1}\end{array}$$

其中，${\alpha }_p$ and ${\beta }_p$ 分别表示的是$p$ 条路径的Angle of Arrival(AoA)和Angle of Departure(AoD)。以上的信道模型还未考虑IRS，接下来让我们研究加入多个IRS后的信道模型。

Figure 1: MIMO communication system assisted by multiple IRSs

Channel model with IRSs

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{\mathbf{y}}_k^{(l)}& =\sum _{p=1}^P{\gamma }_p{\mathbf{a}}_p^{(\mathrm{rx})}{\mathbf{a}}_p^{(\mathrm{irs})\mathrm{T}}{\mathrm{diag}}_k\left({\mathbf{S}}^{(p,l)}\right){\mathbf{b}}_p^{(\mathrm{irs})}{\mathbf{b}}_p^{(\mathrm{tx})\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_k^{(l)}\\ & +{\mathbf{v}}_k^{(l)}\in {\mathbb{C}}^{M_r\times 1}\end{array}\end{array}$$

其中${\mathbf{x}}_k^{(l)}\in {\mathbb{C}}^{M_r\times 1}$ 是所要传输的pilot symbol，${\mathbf{v}}_k^{(l)}\in {\mathbb{C}}^{M_r\times 1}$ 是AWGN的部分，除此之外，${\mathbf{a}}_p^{(\mathrm{irs})}\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$ 和${\mathbf{b}}_p^{(\mathrm{irs})}\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$ 是IRS array steering vectors。他们的定义如下：
$${\mathbf{b}}_p^{(\text{irs })}={\mathbf{b}}_p^{v(\text{ irs })}\otimes {\mathbf{b}}_p^{h(\text{ irs })}\in {\mathbb{C}}^{N_h{N}_v\times 1}$$
这是AoA response 的定义，with $N_h{N}_v=N$, ${\mathbf{b}}_p^{v(\text{ irs })}$和${\mathbf{b}}_p^{h(\text{ irs })}$ 分别是它的elevation and azimuth steering vectors。$n$th element of ${\mathbf{b}}_p^{(\text{irs })}$ 计算如下：
$${\left[{\mathbf{b}}_p^{(\mathrm{irs})}\right]}_{n_h+\left(n_v-1\right)N_h}=e^{j\pi \left(\left(n_h-1\right)\cos {\varphi }_p^b\sin {\psi }_p^b+\left(n_v-1\right)\cos {\varphi }_p^b\right)}$$
with n h = { 1 , … , N h } n_h=\left\{1, \ldots, N_h\right\} nh​={1,…,Nh​}, n v = { 1 , … , N v } n_v=\left\{1, \ldots, N_v\right\} nv​={1,…,Nv​}, and $n=n_h+(n_v-1)N_h$, 其中${\varphi }_p^b$和${\psi }_p^b$ 分别是AoAs的 azimuth 和 elevation。

同理，AoD response的定义如下：
$${\mathbf{a}}_p^{(\mathrm{irs})}={\mathbf{a}}_p^{v(\mathrm{irs})}\otimes {\mathbf{a}}_p^{h(\mathrm{irs})}\in {\mathbb{C}}^{N_h{N}_v\times 1}$$
考虑到$n$th element，进而可被表示为：
$${\left[{\mathbf{a}}_p^{(\mathrm{irs})}\right]}_{n_h+\left(n_v-1\right)N_h}=e^{j\pi \left(\left(n_h-1\right)\cos {\varphi }_p^a\sin {\psi }_p^a+\left(n_v-1\right)\cos {\varphi }_p^a\right)}$$
其中所涉及的角度为AoD对应的azimuth和elevation。在（5）式中，${\mathbf{S}}^{(p,l)}\in {\mathbb{C}}^{N\times K}$ 是一个包含了IRS的phase shift的矩阵。可被表示为：
$$\begin{array}{c}{\mathbf{s}}_k^{(p,l)}={\left[{\beta }_{1,k}^{(p,l)}{e}^{j{\theta }_{1,k}^{(p)}},\dots ,{\beta }_{N,k}^{(p,l)}{e}^{j{\theta }_{N,k}^{(p)}}\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}\end{array}$$
其中， β n , k ( p , l ) = { 0 , 1 } \beta_{n, k}^{(p, l)}=\{0,1\} βn,k(p,l)​={0,1} 和${\theta }_{n,k}$ 分别是reflection coefficient 和designed phase-shift for the $n$th IRS element, for the $k$th time slot。

Conclusion

我按照自己的理解分别介绍了有无IRS参与的两种信道模型，在这个过程中，我仍然想要提醒像我一样的初学者：维度的匹配十分重要！！！这篇总结主要想加深自己的理解，如果能同时帮助到大家理解信道模型的分解，我会更加高兴。

K. B. d. A. Benício, B. Sokal and A. L. F. de Almeida, “Channel Estimation and Performance Evaluation of Multi-IRS Aided MIMO Communication System,” 2021 Workshop on Communication Networks and Power Systems (WCNPS), 2021, pp. 1-6, doi: 10.1109/WCNPS53648.2021.9626243.