通信原理-1到4章笔记

Author🚹:CofCai
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通信系统一般模型

模拟通信系统时：

• 发送机：调制
• 接收机：解调

数字通信系统时：

• 发送机：信源编码、信道编码、调制
• 接收机：解调、信道译码、信源译码

数字[模拟]通信系统的主要性能指标：

• 有效性[传输带宽]
• 可靠性[信噪比]

香农公式

$C=B{\log }_2^{(1+\frac{S}{N})}$

内积、能量与许瓦兹不等式

令信号x(t),y(t)为任意信号，一般情况可以是时间的复函数，称
$$<x,y>={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(t)y(t)d_t$$
为x(t),y(t)的内积、且
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(t)y(t)d_t={\int }_{-\infty }^{+\infty }{X}^{\ast }(f)Y(f)d_f$$
信号与其自身的内积就是能量：$E_x={\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^2{d}_t$

周期信号的傅里叶级数：

$$\begin{gathered} f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (n{\omega }_{0}t)+b_n\sin (n{\omega }_{0}t))n=0,1,2,... \\ 其中 \\ {a}_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}{f}_T(t)\cos (n{\omega }_{0}t)d_{t}n=0,1,2,... \\ {b}_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}{f}_T(t)\sin (n{\omega }_{0}t)d_{t}n=0,1,2,... \end{gathered}$$

或者写成指数形式：
$$\begin{gathered} f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}{d}_t{e}^{j\omega t}{d}_{\omega } \\ F(jw)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}{d}_t(1) \\ f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(jw)e^{j\omega t}{d}_{\omega }(2) \end{gathered}$$

傅里叶变换

$$\begin{gathered} f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}{d}_t{e}^{j\omega t}{d}_{\omega } \\ F(jw)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}{d}_t(1) \\ f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(jw)e^{j\omega t}{d}_{\omega }(2) \end{gathered}$$

某个域中的面积等于另一个域，即：
$$\begin{gathered} x(0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }X(f)d_f \\ X(0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)d_t \end{gathered}$$

能量信号的能量及其能量谱密度

$$\begin{gathered} E={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^2(t)d_t=...={\int }_{-\infty }^{+\infty }|F(f){|}^2{d}_f \\ E(f)=|F(f){|}^2 \end{gathered}$$

功率信号的功率及其功率谱密度

$$\begin{gathered} P(f)=li{m}_{T->\infty }\frac{|F(f){|}^2}{T} \\ F(f)是f(t)的频谱函数 \\ P={\int }_{-\infty }^{+\infty }P(f)d_f \end{gathered}$$

确定信号的相关函数

能量信号x(t)与其时延X(t+$\tau$)的内积称为x(t)的自相关函数：
$$\begin{gathered} R_x(\tau )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(t)x(t+\tau )d_t \\ 因此有E_x(f)=|X(f){|}^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{R}_x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }{d}_{\tau } \end{gathered}$$

确定信号通过线性系统

$$\begin{gathered} y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(u)h(t-u)d_u \\ Y(f)=H(f)X(f) \end{gathered}$$

希尔伯特变换和解析信号

希尔伯特变换就是经过一个冲激响应为$\frac{1}{\pi t}$的线性系统，它本质是一个理想的宽带相移器。
解析信号就是$z(t)=f(t)+j\hat{f}(t)$，其中$\hat{f}(t)$是$f(t)$的希尔伯特变换，即虚部是实部的希尔伯特变换。

随机变量的统计特征

单个随机变量的统计特征：

• 分布函数、概率密度函数
• 数字特征
  1. 数学期望（统计平均值、均值）
  2. 方差（偏离程度）。且有$D[X]=E[X-E[X]{]}^2=E(X^2)-E^2(X)={\delta }_X^2$

多个随机变量的统计特征

• 联合分布函数：$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$，如果$\frac{\alpha F(x,y)}{\alpha x\alpha y}=p(x,y)$存在，则称其为随机变量X和Y的联合概率密度函数。
• 数字特征
  1. 数学期望
     1. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
     2. $E(XY)=E(X)E(y)$，前提是变量X和Y相互独立
  2. 方差：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，前提是变量X和Y相互独立
  3. 相关函数：$R(X,Y)=E(XY)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xyp(x,y)d_x{d}_y$
  4. 协方差函数： C ( X , Y ) = E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } = R ( X , Y ) − m X m Y C(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=R(X,Y)-m_Xm_Y C(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=R(X,Y)−mX​mY​
  5. 归一化协方差函数（相关系数）：${\rho }_{XY}=\frac{C(X,Y)}{{\delta }_X{\delta }_Y}$

随机过程的统计特征

一个随机过程的统计特征

• 数学期望（统计平均值）：$E[X(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }xp(x;t)d_t=m_X(t)$
• 方差：$D[X(t)]=E[X^2(t)]-E^2[X(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}p(x;t)d_x-m_X^2(t)$
• 自相关函数：$R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_1{x}_{2}p(x_1,x_2;t_1,t_2)d_{x_1}{d}_{x_2}$
• 自协方差：$C_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]-m_X(t_1)m_X(t_2)$
• 归一化协方差函数：${\rho }_X(t_1,t_2)=\frac{C_X(t_1,t_2)}{{\delta }_X(t_1){\delta }_X(t_2)}$

两个随机过程的统计特征

……

平稳随机过程

严平稳随机过程定义：随机过程X(t)的任意n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。

宽平稳随机过程的定义：

1. 均值为常数
2. 自相关函数仅与时间间隔相关

各态经历性：x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个样本函数，满足$E[X(t)]=\overline{x(t)},E[X(t)X(t+\tau )]=\overline{x(t)x(t+\tau )}$

平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数的关系

$$\begin{gathered} Def：P_X(f)=li{m}_{T->\infty }\frac{E[|X_T(f){|}^2]}{T} \\ {R}_X(\tau )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_X(f)e^{j2\pi f\tau }{d}_f \\ {P}_X(f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{R}_X(\tau )e^{-j2\pi f\tau }{d}_{\tau } \end{gathered}$$

高斯过程的定义及性质

随机过程的任意n维分布都是正态分布，它完全取决于n个随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数。性质如下：

1. 宽平稳和严平稳是等价的
2. 任何两个时刻的随机变量统计独立和不相关是等价的
3. 若干个高斯过程之和仍是高斯过程
4. 经过线性系统后，输出仍是高斯过程

加性高斯白噪声（AWGN）

白噪声：功率谱密度均匀分布在整个频域范围内

• 其双边功率谱表示为：$P_n(f)=N_0/2(-\infty <f<+\infty )$
• 单变功率谱表示为：$P_n(f)=N_0(0\le f<+\infty )$

[加性]高斯白噪声：指即服从高斯分布、功率谱密度又是均匀分布的噪声。（一般都是指零均值加性高斯白噪声）

平稳随机过程通过线性系统

什么是输入？：平稳随机过程x(t)或X(t)
输出是什么？：
$$\begin{gathered} y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t-\tau )h(\tau )d_{\tau } \\ or \\ Y(t)=X(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }X(t-\tau )h(\tau )d_{\tau } \end{gathered}$$
随机过程**Y(t)的数学期望：
$$E[X(t)]=m_{x}H(0)$$
随机过程Y(t)的自相关函数：
$$R_Y(t_1,t_1+\tau )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\alpha )h(\beta )R_X(\tau +\alpha -\beta )d_{\alpha }{d}_{\beta }$$
随机过程Y(t)**的功率谱密度：
$$P_Y(f)=|H(f){|}^2{P}_X(f)$$

匹配滤波器

定义：采用一种线性滤波器，当信号和加性高斯白噪声通过它时，在某一特定抽样时刻，输出信噪比（信号瞬时功率与噪声平均功率之比）达到最大，此时这种线性滤波器就是匹配滤波器。

输入是什么？信号+噪声，即$s(t)+n_W(t)$，且噪声是加性高斯白噪声。
目标是什么？找到输出信噪比（信号瞬时功率与噪声平均功率之比）最大的线性滤波器。
怎么找？如下：
$$\begin{gathered} s_o(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{S}_o(f)e^{j2\pi ft}{d}_f={\int }_{-\infty }^{+\infty }S(f)H(F)e^{j2\pi ft}{d}_f \\ {P}_{no}(f)=P_{io}(f)|H(f){|}^2=\frac{N0}{2}|H(f){|}^2 \\ minSN{R}_o=\frac{|s_o(t){|}^2}{P_{no}(f)} \\ gotH(f)=K{S}^{\ast }(f)e^{-j2\pi ft0} \\ alsoh(t)=Ks(t_0-t) \end{gathered}$$
匹配滤波器（相关器）的输出：$s_o(t)=KR(t-t_0)$，有$s_o(t_0)=KR(0)=KE$

匹配滤波器输出在抽样时刻的一维概率密度函数：
$$\begin{gathered} 输出信号瞬时值：s_o(t_0)=KR(0)=KE \\ 输出噪声平均功率：P_{no}=\frac{N_0}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }|H(f){|}^2{d}_f=\frac{K^2{N}_{0}E}{2} \end{gathered}$$
上面的我都明白，但是不明白为啥$KE$就是均值，$P_{no}$就是方差。

窄带高斯白噪声

什么是窄带高斯白噪声：当高斯白噪声通过带通滤波器后，输出为带通高斯白噪声，又因为在通信系统中，带通噪声一般满足“窄带”的假设，所以带通噪声又称为窄带噪声。它的原理框图如下：

功率谱和时域波形如下：

此处请插入书上第58页的图！！！

可以看出，窄带高斯白噪声近似为正弦波，频率近似为$f_c$，包络缓慢变换，故我们可以设窄带高斯白噪声的时域表达式为：
$$\begin{gathered} n(t)=a(t)\cos [2\pi f_{c}t+\varphi (t)]a(t)\ge 0 \\ n(t)=a(t)\cos \varphi (t)\cos 2\pi f_{c}t-a(t)\sin \varphi (t)\sin 2\pi f_{c}t \\ =n_c(t)\cos 2\pi f_{c}t-n_s(t)\sin 2\pi f_{c}t \end{gathered}$$
其中$n_c(t)=a(t)\cos \varphi (t)$为同相分量，$n_s(t)=a(t)\sin \varphi (t)$为正交分量，所以一个窄带高斯白噪声最重要的就是：包络、相位，从而可以得到同相分量、正交分量。

窄带高斯白噪声$n_c(t)$和$n_s(t)$的统计特性

通过证明，均值为0，方差为${\delta }_n^2$的平稳窄带高斯白噪声$n(t)$的同相分量和正交分量有如下性质：

• 同相分量和正交分量也是平稳高斯随机过程

• 同相分量和正交分量的均值也为0，方差（平均功率）均等于窄带高斯白噪声的平均功率（方差），即：
  $$\begin{gathered} E[n_c(t)]=E[n_s(t)]=E[n(t)]=0 \\ D[n_c(t)]=D[n_s(t)]=D[n(t)]={\delta }_n^2 \end{gathered}$$

• 同相分量和正交分量具有相同的自相关函数和功率谱函数

窄带高斯白噪声$a(t)$和$\varphi (t)$的统计特性

可以证明，一个均值为0，方差为${\delta }_n^2$的平稳窄带高斯白噪声$n(t)$，其包络$a(t)$的一维概率密度服从瑞利分布；其相位$\varphi (t)$的一维概率密度函数服从均匀分布。

循环平稳随机过程

定义：随机过程s(t)的均值和自相关函数在时间上都是周期函数。

平稳随机过程X(t)和$\cos (2\pi f_{c}t)$同时通过乘法器，输出响应$Y(t)=X(t)\cos (2\pi f_{c}t)$是循环平稳随机过程，原因如下：

• 均值：$E[Y(t)]=...=m_X\cos (2\pi f_{c}t)$

• 自相关函数：
  $$R_Y(t,t+\tau )=\frac{R_X(\tau )}{2}\cos (2\pi f_c\tau )+\frac{R_X(\tau )}{2}\cos (4\pi f_{c}t+2\pi f_c\tau )$$

输出过程的功率谱密度：$P_Y(f)=\frac{1}{4}[P_X(f+f_c)+P_X(f-f_c)]$
输出过程的平均功率为：$P_Y=...=\frac{1}{2}{R}_X(0)$

幅度调制系统的原理

调制谁？有用信号m(t)，它是均值为0的基带信号。
用谁调制？载波信号$A\cos (2\pi f_{c}t)$

AM调制：
$$s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t)$$
解调：

• 包络检波器（利用电路检波）

• 相干解调
  $$\begin{gathered} input:s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t+{\varphi }_0) \\ y(t)=[A+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t+{\varphi }_0).2\cos (2\pi f_{c}t+{\theta }_0) \\ =[A+m(t)][\cos ({\varphi }_0-{\theta }_0)+\cos (4\pi f_{c}t+{\varphi }_0+{\theta }_0)] \\ {s}_o(t)=[A+m(t)][\cos ({\varphi }_0-{\theta }_0)] \end{gathered}$$

频谱特性：
$$\begin{gathered} s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t)=A\cos (2\pi f_{c}t)+m(t)\cos (2\pi f_{c}t) \\ {S}_{AM}(f)=\frac{A}{2}[\delta (f-f_c)+\delta (f+f_c)]+\frac{1}{2}[M(f-f_c)+M(f+f_c)] \\ {P}_{AM}=\frac{A^2}{2}+\frac{\overline{m^2(t)}}{2}=P_{载波}+P_{双边带} \end{gathered}$$
调制效率${\eta }_{AM}=P_{双边带}/P_{AM}$，效率并不高。主要原因是载波没有携带有用信息，但是它也会消耗功率。解决办法就是去掉载波的幅度A，也就是抑制载波的双边带调幅。

DSB调制：$s_{DSB}(t)=m(t)\cos (2\pi f_{c}t)$

由于DSB的左右频谱是对称的，所以可以只传输一边的频带，即单边带调幅。

SSB调制：$s_{DSB}(t)=m(t)\cos (2\pi f_{c}t)$，只传输一半边的频谱。

除了AM调制，其它调制都需要用相干解调才能恢复原信号，因为对于其它调制方法来说，包络检波器只能得出是$|m(t)|$。

解调器输入噪声和输出噪声功率相等，即$P_{no}=P_{ni}=N_0{B}_{BPF}$

调制方式	解调器输入信号	解调器输出信号	输入信号功率	输出信号功率
AM	$s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t)$	$m_o(t)=m(t)$	$S_i=A^2/2+m^2(t)/2$	$S_o=m^2(t)$
DSB	$s_{DSB}(t)=m(t)\cos (2\pi f_{c}t)$	$m_o(t)=m(t)$	$S_i=m^2(t)/2$	$S_o(t)=m^2(t)$
SSB	$s_{SSB}(t)=\frac{1}{2}[m(t)\cos (2\pi f_{c}t)\pm \widehat{m(t)\sin (2\pi f_{c}t)}]$	$m_o(t)=m(t)/2$	$S_i=m^2(t)/4$	$S_o(t)=m^2(t)/4$

Q函数和互补误差函数

$Q(x)=P(Z>x)$表示$Z>x$的概率**（前提是$Z-N(0,1)$分布）**，许多求解误码率的问题可归结为求概率$P(Z>a)$和$P(Z<-a)$的问题，其中$a>0$。对于均值为零的任意方差的高斯随机变量，令$Z=U/\delta$，这时$Z-N(0,1)$，有：
$$\begin{gathered} P(U>a)=P(\frac{U}{\delta }>\frac{a}{\delta })=Q(\frac{a}{\delta }) \\ 前提：U-N(0,{\delta }^2) \end{gathered}$$
对于任意方差的高斯随机变量$U-N(0,{\delta }^2)$，令$Z=U/(\sqrt{2}\delta )$，这时$Z-N(0,1/2)$，有：
$$P(U>a)=P(\frac{U}{\sqrt{2}\delta }>\frac{a}{\sqrt{2}\delta })=\frac{1}{2}erfc(\frac{a}{\sqrt{2}\delta })$$
两者的关系：
$$Q(x)=\frac{1}{2}erfc(\frac{x}{\sqrt{2}})=1-\Phi (x)$$
$\Phi (x)$是标准化正态分布函数，所以从上面看出，如果要使用Q函数或互补误差函数，则先要标准化自变量，即$U-N(0,1)$。