学习笔记——概率论与数理统计（第三章）

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第三章

3.1.1 二维随机变量及其分布函数

E为随机试验，$\Omega$ 为样本空间，X , Y 是定义在 $\Omega$ 上的两个随机变量
( X , Y ) 称为二维随机向量/变量

联合分布

分布函数：
$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$（X , Y 的联合分布函数）

性质：

1. $0\le F(x,y)\le 1$
2. $F(x,y)是x或y的不减函数$
3. $F(-\infty ,y)=0,F(x,-\infty )=0,F(-\infty ,-\infty )=0,F(+\infty ,+\infty )=1$
4. $F(x,y)分别关于x,y右连续$
5. $x_1<x_2,y_1<y_2,则P(x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)$

边缘分布

$F_X(x)=P(X\le x)=F(x,+\infty )=P(X\le x,Y<+\infty )$
$F_Y(y)=P(Y\le y)=F(+\infty ,y)=P(X<+\infty ,Y\le y)$

3.1.2 二维离散型的联合分布和边缘分布

$$\begin{array}{cccc}X\setminus Y& 1& 2& 3\\ 1& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{8}\\ 2& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}\end{array}$$

（联合分布表）
$P(X=x_i,Y=y_j)=P_{ij}$
性质：

1. $P_{ij}\ge 0$
2. $\sum _i\sum _j{P}_{ij}=1$

$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)=\sum _{X_i\le x}\sum _{Y_j\le y}{P}_{ij}$

边缘分布：
对行/列求和

联合分布可唯一确定边缘分布，边缘分布不能确定联合分布（X , Y 独立）

3.1.3 二维连续型的联合分布和边缘分布

联合分布

$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(s,t)dsdt$

$分布函数F(x,y)，联合密度函数f(x,y)$

性质：

1. $f(x,y)\ge 0$
2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$
3. $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$
4. $G是XY平面上的区域，P((X,Y)\in G)=\underset{G}{\iint }f(x,y)dxdy$

边缘分布

$F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,t)dt]ds$
对上式求导
已知$[{\int }_a^{f(x)}g(t)dt{]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(f(x))$（高数知识）
则：
$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$
$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,y)ds={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$

定理：$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$

均匀分布：
一维变量 x , y 都属于均匀分布时，二维随机变量并非属于均匀分布

正态分布：
二维正态分布的边缘分布也是正态分布
两个边缘分布是正态分布，二维随机变量不一定是二维正态分布

3.2.1 条件分布

$F(x)=P(X\le x)$

条件分布：
$F(x|A)=P(X\le x|A)$

3.2.2 离散型的条件分布

$$\begin{array}{ccc}{X}_1\setminus X_2& 0& 1\\ 0& 0.1& 0.3\\ 1& 0.3& 0.3\end{array}$$
$P(X_2=0\mid X_1=0)=0.1/0.4=0.25$

3.2.3 连续型的条件分布

$二维随机变量(X,Y)，已知f(x,y),f_X(x),f_Y(y)f(x,y),若f_Y(y)>0，在Y=y条件下，F(x|y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$
$F(y|x)={\int }_{-\infty }^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv$
$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$
$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

3.2.4 随机变量的独立性

判断随机变量独立性的条件（任选）：

• $f(x|y)=f_X(x)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}（即：f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)）（常见）$
• $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
• $P(X\in S_x,Y\in S_y)=P(X\in S_x)P(Y\in S_y)$

二维离散型的独立性

$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$

二维连续型的独立性

$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

变量独立，构造的函数也独立

定理：X , Y 独立，则 $g_1(X),g_2(Y)$也独立

3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布

举例
$$\begin{array}{ccc}X\setminus Y& 4& 4.2\\ 5& 0.2& 0.4\\ 5.1& 0.3& 0.1\end{array}$$
求Z = XY
$$\begin{array}{ccccc}Z& 20& 21& 20.4& 21.42\\ P& 0.2& 0.4& 0.3& 0.1\end{array}$$

3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布

二维随机变量( X , Y ) ，联合密度函数f ( x , y ) ，Z = g ( X , Y )

1. $F_Z(z)=P(X\le z)=P(g(X,Y)\le z)=\underset{D_z}{\iint }f(x,y)dxdy$
   $D_z=\{(x,y)|g(x,y)\le z\}$
2. 对上式两边求导： $f_Z(z)=\dots \dots$

两种特殊情况

Z = X + Y
则$F_Z(z)=P(Z\le z)=P(X+Y\le z)=\underset{X+Y\le z}{\iint }f(x,y)dxdy={\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{\int }_{-\infty }^{z-x}f(x,y)dy$
令t = x + y，有：
$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{\int }_{-\infty }^{z}f(x,t-x)dt={\int }_{-\infty }^z[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,t-x)dx]dt$

两边求导：
$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx$
同理，$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy$
特别地，当 X Y 独立时，有：
$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$
$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$
（称“卷积公式”）
卷积公式使用条件：

1. Z = X + Y
2. X Y 独立