23.8.15 杭电暑期多校9部分题解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44346868/article/details/132322128

文章讨论了两个编程问题：利用记忆化搜索求解将1变为n所需的最少操作次数，以及计算n人分发硬币时期望操作次数。涉及DFS算法、独立事件分析和优化技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1002 - Shortest path

题目大意

对于一个数 $x$ ，可以进行以下三种操作：

1.将 $x$ 变成 $2 * x$

2.将 $x$ 变成 $3 * x$

3.将 $x$ 变成 $x + 1$

给定一个数 $n$ ，问最少操作几次才能将 $1$ 变成 $n$

解题思路

最开始想法是建图跑最短路，然后发现空间显然不够，换思路

可以倒过来考虑，最优操作必然是找不大于本身的最大的 $2$ 或 $3$ 的倍数除以 $2$ 或 $3$

很容易可以想到暴力搜索，但是会超时，考虑记忆化优化就可以了

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, ans;
long long n;
unordered_map <long long, int> v;
int dfs(long long x) {
    if (v.find(x) != v.end()) return v[x];
    return v[x] = min(dfs(x / 2) + x % 2, dfs(x / 3) + x % 3) + 1;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin >> t;
    v[1] = 0;
    v[2] = v[3] = 1;
    while (t --) {
        cin >> n;
        cout << dfs(n) << "\n";
    }
    return 0;
}

1008 - Coins

题目大意

有 $n$ 个人，每个人有 $a_i$ 个硬币，每次操作可以选择任意 $A,\space B$ 两个人，将 $A$ 的 $1$ 枚硬币给 $B$ ，如果这次操作后 $A$ 没有硬币，则 $A$ 退出游戏，问最后将所有硬币集中到一个人手上的期望操作次数

解题思路

先试试模拟，只有两个人的时候答案是 $a_1*a_2$ ，再推三个人，四个人，发现结果刚好是 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^na_i*a_j$

听说题解讲了鞅的停时定理，咱也不会，但是其实不难发现每两个人之间的游戏其实是独立事件，也可以推出结论

注意卡亿下时间就好了

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, n, a;
__int128 ans, sum;
inline void write(__int128 x) {
    if (x > 9) write(x / 10);
    cout << (char)(x % 10 + '0');
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin >> t;
    while (t --) {
        cin >> n; sum = ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++ i)
            cin >> a, ans += sum * a, sum += a;
        write(ans); cout << "\n";
    }
    return 0;
}