超分之最近邻插值、线性插值、双线性插值、双三次插值原理

插值与图像插值

• 插值：利用已知数据去预测位置数据。
• 图像插值：给定一个像素点，根据它周围像素点的信息来对该像素点的值进行预测。

  图像插值问题类似于拟合问题，二者均为函数逼近或数值逼近的重要组成部分。但是两者的在于：对于给定的函数，插值：要求离散点“坐落在”函数曲线上从而满足约束；而 拟合：则希望离散点尽可能地 “逼近” 函数曲线。

图像插值示例（三倍放大）：
  对于原图像的坐标点 (红色实心点)，其在新图像上都能确定一一对应的坐标点 (红色实心点)。而对于新图像中因放大而的多出坐标点 (蓝色圈叉)，则在原图像中找不到对应点了。
  插值技术就是通过某些规则/规范/约束（特定的拟合函数），获取这些多出坐标点的像素值。
一维示例：

• $(x_{i-1},f(x_{i-1}))、(x_i,f(x_i))、(x_{i+1},f(x_{i+1}))$：已知的三个离散点坐标
• $f(x)$：插值算法的约束条件。
  如果想得到更密集、更精细的点，则可以给定坐标 $x^1$ ，根据插值约束$f(x)$得到对应的函数值 $f(x^1)$。
  
  总而言之，不同的插值方式，就是通过给定不同的插值函数约束，来得到不同的插值结果。

不同的插值方法

最近邻域插值（Nearest Neighbor Interpolation）

• 一维示意图
  
    坐标轴上各点 $x_{i-1}，x_i，x_{i+1}...$两两对半等分间隔 (红色虚线划分)，从而非边界的各坐标点都有一个等宽的邻域，并根据每个坐标点的值构成一个类似分段函数的函数约束，从而使各插值坐标点的值等同于所在邻域原坐标点的值。

• 二维示意图
  
    $(x_0,y_0)、(x_0,y_1)、(x_1,y_0)、(x_1,y_1)$都是原图像上的坐标点，灰度值分别对应为 Q11、Q12、Q21、Q22。而灰度值未知的插值点 (x, y)，根据最近邻插值方法的约束，其与坐标点 (x0, y0) 位置最接近 (即位于 (x0, y0) 的邻域内)，故插值点 (x, y) 的灰度值 P = Q11。

• 简而言之
  最近邻于插值：根据周围至少一个已知像素点，未知像素点x距离哪个已知像素点最近，他的像素值就是离已知像素点的像素值。
  

线性插值 (Linear Interpolation)

• 一维示意图
  
    坐标轴上各点 $x_{i-1}，x_i，x_{i+1}...$的值“两两直接相连”为线段，从而构成了一条连续的约束函数。而插值坐标点例如 x，根据约束函数其值应为 f(x)。

• 二维示意图
  
    $(x_0,y_0)、(x_1,y_1)$都是原图像上的坐标点，灰度值分别对应为 y0 和 y1。而灰度值未知的插值点 x，在$(x_0,y_0$